Որոշ մաթեմատիկական խնդիրներ ձևակերպված են այնքան պարզ, որ կարելի է բացատրել երեխային, բայց միևնույն ժամանակ այնքան դժվար, որ զբաղված են մաթեմատիկոսների սերունդներով։ Այդպիսի խնդիրներից մեկը այսպես կոչված միավորային հեռավորության խնդիրն է. տեղադրեք \(n\) կետ հարթության մեջ։ Քանի՞ զույգ կետեր կարող են ունենալ ճիշտ \(1\) հեռավորություն։ Խնդիրը թվագրվում է Պաուլ Էրդյոսին և ուսումնասիրվում է 1946 թվականից։ OpenAI-ը այժմ հրապարակել է, որ ներքին մոդելը հերքել է այս խնդրի վերաբերյալ երկար ժամանակ գոյություն ունեցող ենթադրությունը։
Առաջին հայացքից հարցը անվնաս է թվում։ Եթե \(n\) կետերը տեղադրեք ուղիղ գծի վրա, կստանաք մոտավորապես \(n-1\) երկարությամբ միջակայքեր \(1\) ։ Եթե կետերը դասավորեք ցանցի տեսքով, ինչպես գրաֆիկական թղթի վրա, կստանաք այս միջակայքերից զգալիորեն ավելի շատ՝ հորիզոնական և ուղղահայաց՝ հարակից կետերի միջև։ Էրդյոսն արդեն գտել էր գծայինից որոշ չափով ավելի լավ կառուցվածքներ։ Սակայն երկար ժամանակ կարծում էին, որ սա չի կարող զգալիորեն բարելավվել։ Պաշտոնապես ենթադրվում էր, որ նման միավոր միջակայքերի առավելագույն քանակը աճում է միայն մոտավորապես \(n^{1+o(1)}\) , այսինքն՝ որոշ չափով ավելի արագ, քան \(n\) , բայց ոչ ֆիքսված լրացուցիչ ցուցիչով։
Սա հենց զարմանալի կետն է. OpenAI մոդելը (որը, սակայն, չի բացահայտվել) կառուցել է ոչ միայն մեկ հակաօրինակ, այլև անվերջ կետային բազմությունների \(P\) ընտանիք, որի համար միավոր հեռավորությունների քանակը առնվազն \(|P|^{1+\delta}\) է՝ ֆիքսված \(\delta>0\) արժեքով: Ուիլ Սոյնի կողմից ավելի ուշ կատարված մշակումը, ըստ OpenAI-ի, նույնիսկ տալիս է \(\delta=0{,}014\) : Սա փոքր է թվում, բայց մաթեմատիկորեն հսկայական է. այն այլևս լոգարիթմական մնացորդ չէ, այլ իրական բազմանդամային աճ:
Պարզ օրինակը ցույց է տալիս հիմնական գաղափարը։ Եկեք քննարկենք բարդ թիվը
\[
u=\frac{2+i}{2-i}=\frac{3+4i}{5}=\frac35+\frac45i.
\]
Այս թիվը ունի \(1\) բացարձակ արժեք, քանի որ
\[
\left|\frac35+\frac45i\right|=\sqrt{\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2}=1.
\]
Հետևաբար, եթե \(x\) -ը հարթության կետ է, ապա \(x\) ը և \(x+u\) գտնվում են ճիշտ \(1\) հեռավորության վրա։ Մասնավորապես, օրինակ, կետերը գտնվում են...
\[
0
\quad\text{und}\quad
\frac35+\frac45i
\]
ճիշտ մեկ միավոր հեռավորության վրա։ Այսպիսով, թվային տեսական արտահայտությունը տալիս է \(1\) երկարության երկրաչափական ուղղություն։ Սա դեռևս մեծ հակափաստարկ չէ, բայց հնարքի փոքր տարբերակն է. փնտրվում են ոչ միայն հորիզոնական և ուղղահայաց միավոր հեռավորություններ, ինչպես ցանցում, այլև թվաբանորեն առաջացած բազմաթիվ ուղղություններ, որոնցից բոլորն ունեն ճիշտ \(1\) երկարություն։
Իրական կառուցումն օգտագործում է զգալիորեն ավելի հզոր գործիքներ: Միայն գաուսյան ամբողջ թվերի հետ աշխատելու փոխարեն \(\mathbb{Z}[i]\) , ապացույցն օգտագործում է ավելի բարդ հանրահաշվական թվային դաշտեր \(K=L(i)\) : Այնտեղ, ձևի բազմաթիվ տարրեր
\[
u=\frac{\alpha}{c(\alpha)}
\]
կառուցված, որտեղ \(c\) խաղում է բարդ կոնյուգացիայի դեր։ Հիմնական ազդեցությունն այն է, որ համապատասխան բարդ ներդրվածքների շարքում այս \(u\) ներից յուրաքանչյուրն ունի \(1\) մեծություն։ Հետևաբար, դրանք թեկնածուներ են բազմաթիվ տարբեր միավորային ուղղությունների համար։
Շատ կոպիտ ասած, իրական հակաօրինակը չի նմանվում տասը կետերով փոքրիկ, գեղեցիկ նկարի, այլ՝ թվաբանորեն կառուցված կետերի հսկայական խմբի։ Դուք վերցնում եք բարձր չափերի ցանց, կտրում եք դրանից համապատասխան կետեր, ապա դրանք պրոյեկտում եք սովորական հարթության վրա։ Ապացույցի նոտագրության մեջ սա կոպիտ արտահայտվում է հետևյալ ձևով...
\[
P_j=\pi_1\big((y+\Lambda_j)\cap W\big),
\]
Այլ կերպ ասած՝ կետերը վերցվում են տեղաշարժված \(y+\Lambda_j\) ցանցից, սահմանափակվում են \(W\) տիրույթով և \(\pi_1\) -ով պրոյեկտվում են կոմպլեքս կոորդինատի վրա, այսինքն \(\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2\) ի վրա։ Այս կետերի միջև շատ տարբերություններ հենց այդպիսի \(u\) տարրեր են \(1\) մեծությամբ։ Հետևաբար, պրոյեկցիայից հետո դրանք դառնում են իրական միավոր հեռավորություններ հարթության մեջ։
Տեսողական անալոգիան հետևյալն է. ստանդարտ ցանցը օգտագործում է մի քանի պարզ ուղղություններ, ինչպիսիք են՝ աջ, ձախ, վերև և ներքև: Սակայն նոր կառուցվածքը ստեղծում է հանրահաշվական թվերի տեսությունից ստացված թաքնված ուղղությունների հսկայական քանակ: Յուրաքանչյուր ուղղություն ունի ճիշտ մեկ միավոր երկարություն: Քանի որ կան այդքան շատ նման ուղղություններ, և դրանց համապատասխանում են բազմաթիվ կետեր, միավորների ընդհանուր հեռավորությունները ավելի մեծ են, քան թույլ էր տալիս հին ենթադրությունը:
Հատկանշական է նաև, թե որտեղից է գալիս ապացույցը։ OpenAI-ի տվյալներով՝ լուծումը գտնվել է ինքնուրույն՝ ընդհանուր դատողության մոդելի միջոցով, այլ ոչ թե այս խնդրի համար հատուկ պատրաստված մաթեմատիկական համակարգի միջոցով։ Այնուհետև ապացույցը վերանայվել է ներքին և արտաքին տեսքով և ներկայացվել մարդու համար ընթեռնելի ձևաչափի։ Արտաքին մաթեմատիկոսների ուղեկցող նշումները նաև ընդգծում են, որ սա ոչ միայն հայտնի մեթոդի ավտոմատացված տարբերակ է, այլև դիսկրետ երկրաչափության և հանրահաշվական թվերի տեսության միջև անսպասելի կապ։
Սա, հավանաբար, այս արդյունքի այդքան հետաքրքիր լինելու իրական պատճառն է։ Խոսքը միայն արհեստական բանականության կողմից խնդրի ճիշտ լուծման մասին չէ։ Խոսքը շատերի համար ակնհայտորեն անհասկանալի մի ճանապարհ գտնելու մասին է՝ լուծել հարթության մեջ հեռավորությունների վերաբերյալ երկրաչափական խնդիրը թվերի տեսության խորը գործիքներով։ Սա մաթեմատիկան պակաս մարդկային չի դարձնում։ Սակայն այն նրան տալիս է նոր, բավականին անհարմարավետորեն հզոր հակառակորդ։