Alcuni problemi matematici sono formulati in modo così semplice da poter essere spiegati a un bambino, eppure così difficili da impegnare generazioni di matematici. Uno di questi problemi è il cosiddetto problema della distanza unitaria: si considerino \(n\) punti su un piano. Quante coppie di punti possono avere una distanza esattamente pari a \(1\) ? Il problema risale a Paul Erdős ed è stato studiato fin dal 1946. OpenAI ha ora pubblicato i risultati di un modello interno che ha smentito una congettura a lungo sostenuta riguardo a questo problema.
A prima vista, la domanda sembra innocua. Se si posizionano \(n\) punti su una linea retta, si ottengono approssimativamente \(n-1\) intervalli di lunghezza \(1\) . Se si dispongono i punti a griglia, come su carta millimetrata, si ottengono molti più di questi intervalli: orizzontalmente e verticalmente tra punti adiacenti. Erdős aveva già trovato delle costruzioni che erano in qualche modo migliori di quelle lineari. Per lungo tempo, tuttavia, si è creduto che non si potessero ottenere miglioramenti significativi. Formalmente, si assumeva che il numero massimo di tali intervalli unitari crescesse solo approssimativamente \(n^{1+o(1)}\) , cioè un po' più velocemente di \(n\) , ma non con un esponente aggiuntivo fisso.
Questo è precisamente il punto sorprendente: il modello OpenAI (quale, non è stato rivelato) ha costruito non solo un singolo controesempio, ma una famiglia infinita di insiemi di punti \(P\) per i quali il numero di distanze unitarie è almeno \(|P|^{1+\delta}\) , con un \(\delta>0\) fisso. Un successivo perfezionamento da parte di Will Sawin, secondo OpenAI, produce addirittura \(\delta=0{,}014\) . Questo può sembrare piccolo, ma matematicamente è enorme: non si tratta più di un resto logaritmico, ma di un vero e proprio guadagno polinomiale.
Un semplice esempio illustra l'idea di base. Consideriamo il numero complesso
\[
u=\frac{2+i}{2-i}=\frac{3+4i}{5}=\frac35+\frac45i.
\]
Questo numero ha un valore assoluto di \(1\) , perché
\[
\left|\frac35+\frac45i\right|=\sqrt{\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2}=1.
\]
Pertanto, se \(x\) è un punto nel piano, allora \(x\) e \(x+u\) distano esattamente \(1\) . Nello specifico, ad esempio, i punti si trovano in...
\[
0
\quad\text{und}\quad
\frac35+\frac45i
\]
esattamente un'unità di distanza. Un'espressione della teoria dei numeri produce quindi una direzione geometrica di lunghezza \(1\) . Questa non è ancora la grande contro-dimostrazione, ma è la versione ridotta del trucco: si cercano non solo distanze unitarie orizzontali e verticali come nella griglia, ma molte direzioni generate aritmeticamente, tutte aventi esattamente lunghezza \(1\) .
La costruzione effettiva utilizza strumenti significativamente più potenti. Invece di lavorare solo con gli interi gaussiani \(\mathbb{Z}[i]\) , la dimostrazione utilizza campi numerici algebrici più complicati \(K=L(i)\) . Lì, molti elementi della forma
\[
u=\frac{\alpha}{c(\alpha)}
\]
costruito, dove \(c\) svolge il ruolo di coniugazione complessa. L'effetto cruciale è: tra gli incastonamenti complessi rilevanti, questi \(u\) hanno ciascuno una magnitudine di \(1\) . Sono quindi candidati per molte diverse direzioni unitarie.
In termini molto generali, un vero controesempio non assomiglia a una piccola e graziosa immagine con dieci punti, ma piuttosto a un enorme sciame di punti costruito aritmeticamente. Si prende una griglia ad alta dimensionalità, si ritagliano punti adatti e poi li si proietta sul piano ordinario. Nella notazione delle dimostrazioni, questo viene espresso approssimativamente nella forma...
\[
P_j=\pi_1\big((y+\Lambda_j)\cap W\big),
\]
In altre parole: si prendono punti da una griglia traslata \(y+\Lambda_j\) , li si restringe a una regione \(W\) e li si proietta con \(\pi_1\) su una coordinata complessa, cioè su \(\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2\) . Molte differenze tra questi punti sono quindi precisamente tali elementi \(u\) con modulo \(1\) . Pertanto, dopo la proiezione, diventano vere distanze unitarie nel piano.
Un'analogia visiva è la seguente: la griglia standard utilizza poche semplici direzioni, come destra, sinistra, su e giù. La nuova costruzione, tuttavia, genera un gran numero di direzioni nascoste derivate dalla teoria algebrica dei numeri. Ogni direzione è lunga esattamente un'unità. Poiché esistono così tante direzioni di questo tipo e molti punti corrispondono ad esse, la distanza unitaria totale è maggiore di quanto la vecchia congettura avrebbe consentito.
È inoltre degno di nota l'origine della dimostrazione. Secondo OpenAI, la soluzione è stata trovata autonomamente da un modello di ragionamento generale, non da un sistema matematico specificamente addestrato per questo problema. La dimostrazione è stata poi revisionata internamente ed esternamente e resa comprensibile all'uomo. Le note di accompagnamento di matematici esterni sottolineano inoltre che non si tratta semplicemente di una versione automatizzata di un metodo noto, ma di un'inaspettata connessione tra geometria discreta e teoria algebrica dei numeri.
Questa è probabilmente la vera ragione per cui questo risultato è così interessante. Non si tratta solo di un'IA che risolve correttamente un problema. Si tratta di un'IA che trova una soluzione che non era ovvia per molti: affrontare un problema geometrico sulle distanze in un piano con strumenti avanzati della teoria dei numeri. Questo non rende la matematica meno umana. Ma le conferisce un nuovo, e piuttosto inquietante, avversario.