បញ្ហាគណិតវិទ្យាមួយចំនួនត្រូវបានបង្កើតឡើងយ៉ាងសាមញ្ញដើម្បីអាចពន្យល់ដល់កុមារបាន ប៉ុន្តែពិបាកខ្លាំងណាស់ដែលវាត្រូវការអ្នកគណិតវិទូជំនាន់ៗ។ បញ្ហាមួយក្នុងចំណោមបញ្ហាទាំងនោះគឺបញ្ហាចម្ងាយឯកតាដែលហៅថា៖ ដាក់ចំណុច \(n\) នៅក្នុងប្លង់។ តើចំណុចប៉ុន្មានគូអាចមានចម្ងាយ \(1\) យ៉ាងពិតប្រាកដ? បញ្ហានេះមានតាំងពីសម័យលោក Paul Erdős ហើយត្រូវបានសិក្សាតាំងពីឆ្នាំ 1946។ ឥឡូវនេះ OpenAI បានបោះពុម្ពផ្សាយថា គំរូផ្ទៃក្នុងមួយបានបដិសេធការស្មានដែលមានជាយូរមកហើយអំពីបញ្ហានេះ។
នៅពេលក្រឡេកមើលដំបូង សំណួរនេះហាក់ដូចជាគ្មានគ្រោះថ្នាក់អ្វីទេ។ ប្រសិនបើអ្នកដាក់ចំណុច \(n\) នៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ អ្នកនឹងទទួលបានចន្លោះពេលប្រហែល \(n-1\) នៃប្រវែង \(1\) ។ ប្រសិនបើអ្នករៀបចំចំណុចជាក្រឡាចត្រង្គ ដូចនៅលើក្រដាសក្រាហ្វ អ្នកនឹងទទួលបានចន្លោះពេលទាំងនេះច្រើនជាងនេះទៅទៀត៖ ផ្ដេក និងបញ្ឈររវាងចំណុចជាប់គ្នា។ Erdős បានរកឃើញសំណង់ដែលល្អជាងលីនេអ៊ែររួចហើយ។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ អស់រយៈពេលជាយូរមកហើយ វាត្រូវបានគេជឿថារឿងនេះមិនអាចកែលម្អបានច្រើននោះទេ។ ជាផ្លូវការ ការសន្មត់គឺថាចំនួនអតិបរមានៃចន្លោះពេលឯកតាបែបនេះកើនឡើងត្រឹមតែប្រហែល \(n^{1+o(1)}\) ពោលគឺលឿនជាង \(n\) បន្តិច ប៉ុន្តែមិនមែនជាមួយនិទស្សន្តបន្ថែមថេរនោះទេ។
នេះជាចំណុចដ៏គួរឲ្យភ្ញាក់ផ្អើលមួយ៖ គំរូ OpenAI (មួយណា មិនត្រូវបានបង្ហាញ) បានបង្កើតមិនត្រឹមតែជាឧទាហរណ៍ប្រឆាំងតែមួយប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែជាក្រុមគ្រួសារចំណុចគ្មានកំណត់ \(P\) ដែលចំនួនចម្ងាយឯកតាគឺយ៉ាងហោចណាស់ \(|P|^{1+\delta}\) ជាមួយនឹង \(\delta>0\) ថេរ។ ការកែលម្អក្រោយមកដោយ Will Sawin យោងតាម OpenAI ថែមទាំងផ្តល់លទ្ធផល \(\delta=0{,}014\) ។ នេះស្តាប់ទៅតូច ប៉ុន្តែវាមានទំហំធំសម្បើមខាងគណិតវិទ្យា៖ វាលែងជាសំណល់លោការីតទៀតហើយ ប៉ុន្តែជាការកើនពហុធាពិត។
ឧទាហរណ៍សាមញ្ញមួយបង្ហាញពីគំនិតជាមូលដ្ឋាន។ ចូរយើងពិចារណាចំនួនកុំផ្លិច
\[
u=\frac{2+i}{2-i}=\frac{3+4i}{5}=\frac35+\frac45i.
\]
ចំនួននេះមានតម្លៃដាច់ខាត \(1\) ពីព្រោះ
\[
\left|\frac35+\frac45i\right|=\sqrt{\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2}=1.
\]
ដូច្នេះ ប្រសិនបើ \(x\) ជាចំណុចមួយនៅក្នុងប្លង់ នោះ \(x\) និង \(x+u\) គឺស្ថិតនៅចន្លោះ \(1\) យ៉ាងពិតប្រាកដ។ ជាពិសេស ឧទាហរណ៍ ចំណុចនានាមានទីតាំងនៅ...
\[
0
\quad\text{und}\quad
\frac35+\frac45i
\]
ដាច់ពីគ្នាមួយឯកតាយ៉ាងពិតប្រាកដ។ ដូច្នេះ កន្សោមទ្រឹស្តីលេខផ្តល់នូវទិសដៅធរណីមាត្រនៃប្រវែង \(1\) ។ នេះមិនទាន់ជាភស្តុតាងប្រឆាំងដ៏ធំមួយនៅឡើយទេ ប៉ុន្តែវាជាកំណែតូចមួយនៃល្បិច៖ គេមិនត្រឹមតែមើលចម្ងាយឯកតាផ្ដេក និងបញ្ឈរដូចក្នុងក្រឡាចត្រង្គប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែសម្រាប់ទិសដៅដែលបង្កើតដោយនព្វន្តជាច្រើន ដែលទាំងអស់មានប្រវែងពិតប្រាកដ \(1\) ។
ការសាងសង់ពិតប្រាកដប្រើឧបករណ៍ដែលមានអនុភាពជាង។ ជំនួសឱ្យការធ្វើការតែជាមួយចំនួនគត់ Gaussian \(\mathbb{Z}[i]\) ភស្តុតាងប្រើវាលលេខពិជគណិតស្មុគស្មាញជាង \(K=L(i)\) ។ នៅទីនោះ ធាតុជាច្រើននៃទម្រង់
\[
u=\frac{\alpha}{c(\alpha)}
\]
ត្រូវបានសាងសង់ ដែល \(c\) ដើរតួនាទីជាបន្សំស្មុគស្មាញ។ ឥទ្ធិពលសំខាន់គឺ៖ ក្នុងចំណោមការបង្កប់ស្មុគស្មាញដែលពាក់ព័ន្ធ \(u\) ទាំងនេះនីមួយៗមានទំហំ \(1\) ។ ដូច្នេះពួកវាជាបេក្ខជនសម្រាប់ទិសដៅឯកតាផ្សេងៗគ្នាជាច្រើន។
និយាយឲ្យខ្លី ឧទាហរណ៍ប្រឆាំងពិតប្រាកដមិនមើលទៅដូចជារូបភាពតូចស្អាតដែលមានចំណុចដប់នោះទេ ប៉ុន្តែវាមើលទៅដូចជាចង្កោមចំណុចដ៏ធំមួយដែលបានសាងសង់ឡើងតាមបែបនព្វន្ត។ អ្នកយកក្រឡាចត្រង្គដែលមានវិមាត្រខ្ពស់ កាត់ចំណុចសមស្របចេញពីវា ហើយបន្ទាប់មកបញ្ចាំងវាត្រឡប់ទៅលើប្លង់ធម្មតាវិញ។ នៅក្នុងសញ្ញាណបញ្ជាក់ នេះត្រូវបានបង្ហាញយ៉ាងប្រហាក់ប្រហែលក្នុងទម្រង់...
\[
P_j=\pi_1\big((y+\Lambda_j)\cap W\big),
\]
ម្យ៉ាងទៀត៖ គេយកចំណុចពីក្រឡាចត្រង្គដែលបានផ្លាស់ប្ដូរ \(y+\Lambda_j\) ដាក់កម្រិតពួកវាដោយតំបន់ \(W\) ហើយព្យាករពួកវាជាមួយ \(\pi_1\) ទៅលើកូអរដោនេស្មុគស្មាញ ពោលគឺទៅលើ \(\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2\) ។ ភាពខុសគ្នាជាច្រើនរវាងចំណុចទាំងនេះគឺជាធាតុ \(u\) ដែលមានទំហំ \(1\) ។ ដូច្នេះ បន្ទាប់ពីការព្យាករ ពួកវាក្លាយជាចម្ងាយឯកតាពិតនៅក្នុងប្លង់។
ការប្រៀបធៀបដែលមើលឃើញគឺដូចនេះ៖ ក្រឡាចត្រង្គស្តង់ដារប្រើទិសដៅសាមញ្ញមួយចំនួន ដូចជាស្តាំ ឆ្វេង ឡើងលើ និងចុះក្រោម។ ទោះជាយ៉ាងណាក៏ដោយ ការសាងសង់ថ្មីនេះបង្កើតទិសដៅលាក់កំបាំងមួយចំនួនធំដែលទទួលបានពីទ្រឹស្តីចំនួនពិជគណិត។ ទិសដៅនីមួយៗមានប្រវែងមួយឯកតាយ៉ាងពិតប្រាកដ។ ដោយសារតែមានទិសដៅបែបនេះច្រើនណាស់ ហើយចំណុចជាច្រើនត្រូវគ្នាទៅនឹងពួកវា ចម្ងាយឯកតាសរុបគឺធំជាងការស្មានចាស់អនុញ្ញាត។
វាក៏គួរឱ្យកត់សម្គាល់ផងដែរថា ភស្តុតាងនេះមកពីណា។ យោងតាម OpenAI ដំណោះស្រាយត្រូវបានរកឃើញដោយស្វ័យភាពដោយគំរូហេតុផលទូទៅ មិនមែនដោយប្រព័ន្ធគណិតវិទ្យាដែលបានទទួលការបណ្តុះបណ្តាលជាពិសេសសម្រាប់បញ្ហានេះទេ។ បន្ទាប់មក ភស្តុតាងត្រូវបានពិនិត្យឡើងវិញទាំងខាងក្នុង និងខាងក្រៅ ហើយបង្ហាញជាទម្រង់ដែលមនុស្សអាចអានបាន។ កំណត់ចំណាំដែលភ្ជាប់មកជាមួយពីអ្នកគណិតវិទូខាងក្រៅក៏សង្កត់ធ្ងន់ផងដែរថា នេះមិនមែនគ្រាន់តែជាកំណែស្វ័យប្រវត្តិនៃវិធីសាស្ត្រដែលគេស្គាល់នោះទេ ប៉ុន្តែជាការតភ្ជាប់ដែលមិននឹកស្មានដល់រវាងធរណីមាត្រដាច់ពីគ្នា និងទ្រឹស្តីចំនួនពិជគណិត។
នេះប្រហែលជាហេតុផលពិតប្រាកដដែលធ្វើឲ្យលទ្ធផលនេះគួរឲ្យចាប់អារម្មណ៍ខ្លាំង។ វាមិនមែនគ្រាន់តែនិយាយអំពី AI ដែលដោះស្រាយបញ្ហាបានត្រឹមត្រូវនោះទេ។ វានិយាយអំពីការស្វែងរកវិធីមួយដែលមនុស្សជាច្រើនមិនយល់៖ ការដោះស្រាយបញ្ហាធរណីមាត្រអំពីចម្ងាយនៅក្នុងប្លង់មួយដោយប្រើឧបករណ៍ស៊ីជម្រៅពីទ្រឹស្តីលេខ។ នេះមិនធ្វើឲ្យគណិតវិទ្យាមិនសូវមានលក្ខណៈមនុស្សធម៌ទេ។ ប៉ុន្តែវាផ្តល់ឱ្យវានូវគូប្រជែងថ្មី ដែលមានថាមពលខ្លាំងជាង។