Qaar ka mid ah dhibaatooyinka xisaabta waxaa loo qaabeeyey si fudud si loogu sharxi karo ilmaha, haddana aad bay u adag tahay in ay ku jiraan jiilal xisaabeed. Mid ka mid ah dhibaatooyinkaas waa waxa loogu yeero dhibaatada masaafada cutubka: Dhig dhibcaha \(n\) diyaaradda. Immisa lammaane oo dhibcood ah ayaa markaa yeelan kara masaafo sax ah \(1\) ? Dhibaatadu waxay dib ugu noqotaa Paul Erdős waxaana la bartay tan iyo 1946. OpenAI hadda waxay daabacday in qaab gudaha ah uu beeniyay mala-awaal muddo dheer la haystay oo ku saabsan dhibaatadan.
Marka hore ee la eego, su'aashu waxay u egtahay mid aan dhib lahayn. Haddii aad dhigto dhibcaha \(n\) xariiq toosan, waxaad heleysaa qiyaas ahaan \(n-1\) oo dherer ah \(1\) . Haddii aad dhibcaha u habayso sidii shabag, sida warqadda garaafka, waxaad heleysaa farqi aad u badan oo ka mid ah waqtiyadan: si toosan iyo si toosan inta u dhaxaysa dhibcaha ku xiga. Erdős waxay horey u heshay dhismayaal ka wanaagsan kuwa toosan. Si kastaba ha ahaatee, muddo dheer, waxaa la aaminsanaa in aan si weyn loo horumarin karin. Si rasmi ah, mala-awaalka wuxuu ahaa in tirada ugu badan ee kala-goysyada cutubyada noocaas ah ay korto oo keliya qiyaastii \(n^{1+o(1)}\) , taasi waa, xoogaa ka dhaqso badan \(n\) , laakiin aan lahayn jibbaar dheeraad ah oo go'an.
Tani waa qodobka la yaabka leh: Qaabka OpenAI (kaas oo aan la shaacin) ma uusan dhisin hal tusaale oo ka soo horjeeda, laakiin qoys aan dhammaad lahayn oo ah qaybo dhibcood \(P\) oo tirada masaafada cutubku ugu yaraan tahay \(|P|^{1+\delta}\) , oo leh \(\delta>0\) go'an. Hagaajin dambe oo uu sameeyay Will Sawin, sida laga soo xigtay OpenAI, xitaa waxay dhalisaa \(\delta=0{,}014\) . Tani waxay u egtahay mid yar, laakiin waa mid xisaab ahaan aad u weyn: Ma aha wax ka harsan logarithmic, laakiin waa faa'iido polynomial dhab ah.
Tusaale fudud ayaa muujinaya fikradda aasaasiga ah. Aan tixgelinno tirada adag
\[
u=\frac{2+i}{2-i}=\frac{3+4i}{5}=\frac35+\frac45i.
\]
Lambarkan wuxuu leeyahay qiimo dhammaystiran oo ah \(1\) , sababtoo ah
\[
\left|\frac35+\frac45i\right|=\sqrt{\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2}=1.
\]
Sidaa darteed, haddii \(x\) uu yahay bar ku jirta diyaaradda, markaas \(x\) iyo \(x+u\) si sax ah ayay u kala fog yihiin \(1\) . Gaar ahaan, tusaale ahaan, dhibcaha waxay ku yaalliin...
\[
0
\quad\text{und}\quad
\frac35+\frac45i
\]
Hal cutub oo keliya ayaa u dhexeeya. Tibaax tirakoobeed sidaas darteed waxay soo saartaa jihada joomatari ee dhererka \(1\) . Tani weli ma aha mid ka hortagta weyn, laakiin waa nooca yar ee khiyaanada: qofku ma eego oo keliya masaafada cutubyada toosan iyo kuwa toosan sida shabagga, laakiin sidoo kale jihooyin badan oo xisaabeed lagu sameeyay, kuwaas oo dhammaantood leh dherer sax ah \(1\) .
Dhismaha dhabta ah wuxuu adeegsadaa qalab aad uga awood badan. Halkii uu ka shaqeyn lahaa oo keliya tirada Gaussian \(\mathbb{Z}[i]\) , caddayntu waxay isticmaashaa goobo tiro aljabra oo aad u adag \(K=L(i)\) . Halkaas, qaybo badan oo foomka ah
\[
u=\frac{\alpha}{c(\alpha)}
\]
la dhisay, halkaas oo \(c\) ay ka ciyaarto doorka isku-xidhka adag. Saamaynta muhiimka ah waa: ka mid ah ku-xidhka adag ee khuseeya, kuwan \(u\) mid walba wuxuu leeyahay baaxad dhan \(1\) . Sidaa darteed waa musharaxiin u taagan jihooyin badan oo cutubyo kala duwan ah.
Marka si aad u qallafsan loo eego, tusaale ka soo horjeeda dhabta ah uma eka sawir yar oo qurux badan oo leh toban dhibcood, laakiin wuxuu u eg yahay dhibco badan oo xisaabeed oo waaweyn. Waxaad qaadanaysaa shabag cabbir sare leh, waxaad ka goynaysaa dhibco ku habboon, ka dibna waxaad dib ugu soo celinaysaa heerka caadiga ah. Qoraalka caddaynta, tan waxaa si qiyaas ah loogu muujiyay qaabka...
\[
P_j=\pi_1\big((y+\Lambda_j)\cap W\big),
\]
Si kale haddii loo dhigo: Qofku wuxuu dhibcaha ka qaataa shabaq la beddelay \(y+\Lambda_j\) , wuxuuna ku xaddidaa gobol \(W\) , wuxuuna ku meeleeyaa \(\pi_1\) isku-dubarid adag, tusaale ahaan, \(\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2\) . Kala duwanaansho badan oo u dhexeeya qodobbadan ayaa markaa ah walxaha \(u\) oo leh baaxad \(1\) . Sidaa darteed, ka dib saadaasha, waxay noqdaan masaafada cutubyada dhabta ah ee diyaaradda.
Tusaalooyin muuqaal ah waa kan: Shabakadda caadiga ah waxay isticmaashaa dhowr tilmaamood oo fudud, sida midig, bidix, kor, iyo hoos. Si kastaba ha ahaatee, dhismaha cusub wuxuu soo saaraa tiro badan oo jihooyin qarsoon oo laga soo qaatay aragtida tirada aljabrada. Jiho kasta waa hal cutub oo dhererkiisu sax yahay. Maadaama ay jiraan jihooyin badan oo noocaas ah iyo dhibco badan oo u dhigma, wadarta masaafada cutubku way ka weyn tahay inta mala-awaalka hore u oggolaan lahaa.
Waxaa sidoo kale xusid mudan meesha caddayntu ka timid. Sida laga soo xigtay OpenAI, xalka waxaa si iskeed ah loogu helay qaab guud oo sababayn ah, oo aan lagu helin nidaam xisaabeed oo si gaar ah loogu tababaray dhibaatadan. Caddeynta waxaa markaa dib loo eegay gudaha iyo dibaddaba waxaana loo rogay qaab aadame akhrin karo. Qoraallada la socda ee ka imanaya xisaabiyeyaasha dibadda ayaa sidoo kale xoojinaya in tani aysan ahayn oo keliya nooc otomaatig ah oo hab la yaqaan ah, laakiin xiriir lama filaan ah oo u dhexeeya joomatari kala go'an iyo aragtida tirada aljabrada.
Tani waa sababta dhabta ah ee natiijadani u xiiso badan tahay. Ma aha oo kaliya AI-ga oo si sax ah u xallinaya dhibaato. Waxay ku saabsan tahay helitaanka hab aan u muuqan dad badan: wax ka qabashada dhibaato joomatari oo ku saabsan masaafada diyaaradda iyadoo la adeegsanayo qalab qoto dheer oo ka yimid aragtida tirada. Tani kama dhigayso xisaabta mid aan aad u badnayn. Laakiin waxay siinaysaa mucaarad cusub oo awood leh oo aan raaxo lahayn.