कुछ गणितीय समस्याएं इतनी सरलता से तैयार की जाती हैं कि उन्हें एक बच्चे को भी समझाया जा सकता है, फिर भी वे इतनी जटिल होती हैं कि गणितज्ञों की कई पीढ़ियां उन्हें सुलझाने में लगी रहती हैं। ऐसी ही एक समस्या है इकाई दूरी की समस्या: समतल में \(n\) बिंदु रखें। ऐसे कितने बिंदुओं के जोड़े हो सकते हैं जिनके बीच की दूरी ठीक \(1\) हो? यह समस्या पॉल एर्डोस द्वारा प्रस्तुत की गई थी और 1946 से इस पर अध्ययन किया जा रहा है। अब ओपनएआई ने प्रकाशित किया है कि एक आंतरिक मॉडल ने इस समस्या के बारे में लंबे समय से चली आ रही एक धारणा को गलत साबित कर दिया है।
पहली नज़र में, यह सवाल सीधा-सादा लगता है। यदि आप एक सीधी रेखा पर \(n\) बिंदु रखते हैं, तो आपको लगभग \(n-1\) अंतराल मिलते हैं जिनकी लंबाई \(1\) । यदि आप बिंदुओं को ग्राफ पेपर की तरह ग्रिड में व्यवस्थित करते हैं, तो आपको आसन्न बिंदुओं के बीच क्षैतिज और लंबवत रूप से ऐसे अंतरालों की संख्या काफी अधिक मिलती है। एर्डोस ने पहले ही कुछ ऐसी संरचनाएँ खोज ली थीं जो रैखिक संरचनाओं से कुछ बेहतर थीं। हालाँकि, लंबे समय तक यह माना जाता रहा कि इसमें और अधिक सुधार नहीं किया जा सकता। औपचारिक रूप से, यह माना जाता था कि ऐसे इकाई अंतरालों की अधिकतम संख्या लगभग \(n^{1+o(1)}\) से ही बढ़ती है, यानी \(n\) की तुलना में कुछ तेज़ी से, लेकिन एक निश्चित अतिरिक्त घातांक के साथ नहीं।
यही बात सबसे चौंकाने वाली है: ओपनएआई मॉडल (कौन सा मॉडल, इसका खुलासा नहीं किया गया) ने न केवल एक प्रतिउदाहरण बनाया, बल्कि बिंदु समुच्चयों \(P\) का एक अनंत परिवार बनाया, जिनके लिए इकाई दूरियों की संख्या कम से कम \(|P|^{1+\delta}\) है, जहाँ \(\delta>0\) स्थिर है। ओपनएआई के अनुसार, विल सॉविन द्वारा किए गए एक बाद के परिशोधन से \(\delta=0{,}014\) भी प्राप्त होता है। यह सुनने में छोटा लगता है, लेकिन गणितीय रूप से बहुत बड़ा है: यह अब लघुगणकीय शेषफल नहीं है, बल्कि एक वास्तविक बहुपद लाभ है।
एक सरल उदाहरण इस मूल विचार को स्पष्ट करता है। आइए जटिल संख्या पर विचार करें।
\[
u=\frac{2+i}{2-i}=\frac{3+4i}{5}=\frac35+\frac45i.
\]
इस संख्या का निरपेक्ष मान \(1\) है, क्योंकि
\[
\left|\frac35+\frac45i\right|=\sqrt{\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2}=1.
\]
इसलिए, यदि \(x\) समतल में एक बिंदु है, तो \(x\) और \(x+u\) के बीच ठीक \(1\) फासला होता है। विशेष रूप से, उदाहरण के लिए, बिंदु इस प्रकार स्थित हैं...
\[
0
\quad\text{und}\quad
\frac35+\frac45i
\]
ठीक एक इकाई की दूरी पर। इस प्रकार एक संख्या-सैद्धांतिक व्यंजक से लंबाई \(1\) की एक ज्यामितीय दिशा प्राप्त होती है। यह अभी तक पूर्ण प्रति-प्रमाण नहीं है, लेकिन यह इस तरकीब का छोटा संस्करण है: ग्रिड की तरह क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर इकाई दूरियों की ही नहीं, बल्कि अंकगणितीय रूप से उत्पन्न कई दिशाओं की भी तलाश की जाती है, जिनमें से सभी की लंबाई ठीक \(1\) होती है।
वास्तविक निर्माण में कहीं अधिक शक्तिशाली उपकरणों का उपयोग किया गया है। केवल गॉसियन पूर्णांकों \(\mathbb{Z}[i]\) के साथ काम करने के बजाय, प्रमाण में अधिक जटिल बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों \(K=L(i)\) उपयोग किया गया है। वहाँ, कई तत्व इस प्रकार हैं:
\[
u=\frac{\alpha}{c(\alpha)}
\]
निर्मित, जहाँ \(c\) जटिल संयुग्मन की भूमिका निभाता है। महत्वपूर्ण प्रभाव यह है कि प्रासंगिक जटिल एम्बेडिंग में से, इन \(u\) में से प्रत्येक का परिमाण \(1\) है। इसलिए वे कई अलग-अलग इकाई दिशाओं के लिए उम्मीदवार हैं।
सरल शब्दों में कहें तो, एक सच्चा प्रतिउदाहरण दस बिंदुओं वाली एक छोटी, सुंदर तस्वीर जैसा नहीं दिखता, बल्कि बिंदुओं के एक विशाल, अंकगणितीय रूप से निर्मित समूह जैसा दिखता है। आप एक उच्च-आयामी ग्रिड लेते हैं, उसमें से उपयुक्त बिंदुओं को काटते हैं, और फिर इन्हें वापस सामान्य समतल पर प्रक्षेपित करते हैं। प्रमाण संकेतन में, इसे मोटे तौर पर इस रूप में व्यक्त किया जाता है...
\[
P_j=\pi_1\big((y+\Lambda_j)\cap W\big),
\]
दूसरे शब्दों में: एक स्थानांतरित ग्रिड \(y+\Lambda_j\) से बिंदु लिए जाते हैं, उन्हें एक क्षेत्र \(W\) द्वारा सीमित किया जाता है, और उन्हें \(\pi_1\) के साथ एक जटिल निर्देशांक, यानी \(\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2\) पर प्रक्षेपित किया जाता है। इन बिंदुओं के बीच कई अंतर ठीक ऐसे \(u\) तत्व होते हैं जिनका परिमाण \(1\) होता है। इसलिए, प्रक्षेपण के बाद, वे समतल में वास्तविक इकाई दूरियां बन जाते हैं।
इसे समझने के लिए एक दृश्य उदाहरण यह है: मानक ग्रिड में कुछ सरल दिशाएँ होती हैं, जैसे दाएँ, बाएँ, ऊपर और नीचे। लेकिन नई संरचना में बीजगणितीय संख्या सिद्धांत से व्युत्पन्न असंख्य छिपी हुई दिशाएँ उत्पन्न होती हैं। प्रत्येक दिशा ठीक एक इकाई लंबी होती है। क्योंकि ऐसी दिशाएँ बहुत अधिक हैं और उनसे संबंधित बिंदु भी बहुत सारे हैं, इसलिए कुल इकाई दूरियाँ पुरानी परिकल्पना से कहीं अधिक हैं।
यह भी ध्यान देने योग्य है कि प्रमाण कहाँ से आया है। OpenAI के अनुसार, यह समाधान एक सामान्य तर्क मॉडल द्वारा स्वतः ही खोजा गया था, न कि इस समस्या के लिए विशेष रूप से प्रशिक्षित किसी गणितीय प्रणाली द्वारा। इसके बाद प्रमाण की आंतरिक और बाहरी रूप से समीक्षा की गई और इसे मानव-पठनीय रूप में प्रस्तुत किया गया। बाहरी गणितज्ञों के साथ दिए गए नोट्स भी इस बात पर जोर देते हैं कि यह केवल एक ज्ञात विधि का स्वचालित संस्करण नहीं है, बल्कि असतत ज्यामिति और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के बीच एक अप्रत्याशित संबंध है।
शायद यही असली वजह है कि यह नतीजा इतना दिलचस्प है। यह सिर्फ़ किसी एआई द्वारा किसी समस्या को सही ढंग से हल करने की बात नहीं है। बल्कि यह इस बारे में है कि इसने एक ऐसा तरीका खोज निकाला जो कई लोगों के लिए स्पष्ट नहीं था: समतल में दूरियों से संबंधित एक ज्यामितीय समस्या को संख्या सिद्धांत के गहन उपकरणों की मदद से हल करना। इससे गणित का मानवीय स्वरूप कम नहीं हो जाता। लेकिन यह गणित को एक नया, बल्कि काफ़ी चुनौतीपूर्ण, शक्तिशाली प्रतिद्वंद्वी ज़रूर दे देता है।