Айрым математикалык маселелер балага түшүндүрүп берүүгө мүмкүн болгончолук жөнөкөй түзүлгөн, бирок аларды чечүү математиктердин муундарын өзүнө тартканчалык татаал. Мындай маселелердин бири - бирдик аралык маселеси: тегиздикке \(n\) чекитти жайгаштырыңыз. Анда канча жуп чекиттин аралыгы так \(1\) барабар болушу мүмкүн? Маселе Пол Эрдөшкө барып такалат жана 1946-жылдан бери изилденип келет. OpenAI эми ички модель бул маселе боюнча көптөн бери айтылып келе жаткан божомолду жокко чыгарганын жарыялады.
Бир караганда, суроо зыянсыздай сезилет. Эгер сиз \(n\) чекиттерди түз сызыкка жайгаштырсаңыз, болжол менен \(n-1\) узундуктагы \(1\) интервалдарды аласыз. Эгерде сиз чекиттерди графикалык кагаздагыдай торчо катары жайгаштырсаңыз, анда бул интервалдардын бир топ көбүн аласыз: горизонталдуу жана вертикалдуу түрдө жанаша чекиттердин ортосунда. Эрдөш сызыктуудан бир аз жакшыраак конструкцияларды тапкан. Бирок, көп убакыт бою муну бир кыйла жакшыртууга болбойт деп эсептелген. Формалдуу түрдө, мындай бирдик интервалдарынын максималдуу саны болжол менен \(n^{1+o(1)}\) гана өсөт, башкача айтканда, \(n\) ден бир аз тезирээк өсөт деген божомол болгон, бирок белгиленген кошумча көрсөткүч менен эмес.
Дал ушул таң калыштуу жагдай: OpenAI модели (ал ачыкталган эмес) бир гана каршы мисалды эмес, бирдик аралыктарынын саны жок дегенде \(|P|^{1+\delta}\) болгон, туруктуу \(\delta>0\) болгон чексиз чекиттик топтомдордун \(P\) үй-бүлөсүн түзгөн. OpenAI боюнча, Уилл Совиндин кийинчерээк тактоосу \(\delta=0{,}014\) да берет. Бул кичинекей угулат, бирок математикалык жактан абдан чоң: ал эми логарифмдик калдык эмес, чыныгы полиномдук пайда.
Жөнөкөй мисал негизги идеяны көрсөтөт. Келгиле, комплекс санды карап көрөлү
\[
u=\frac{2+i}{2-i}=\frac{3+4i}{5}=\frac35+\frac45i.
\]
Бул сандын абсолюттук мааниси \(1\) барабар, анткени
\[
\left|\frac35+\frac45i\right|=\sqrt{\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2}=1.
\]
Ошондуктан, эгер \(x\) тегиздиктеги чекит болсо, анда \(x\) жана \(x+u\) бири-биринен так \(1\) аралыкта жайгашкан. Тактап айтканда, мисалы, чекиттер ... жайгашкан.
\[
0
\quad\text{und}\quad
\frac35+\frac45i
\]
так бир бирдик аралыкта. Ошентип, сандык теориялык туюнтма узундуктун геометриялык багытын берет \(1\) . Бул азырынча чоң каршы далил эмес, бирок бул ыкманын кичинекей версиясы: торчодогудай горизонталдык жана вертикалдык бирдик аралыктарын гана эмес, ошондой эле арифметикалык жол менен түзүлгөн көптөгөн багыттарды издесе болот, алардын баарынын так узундугу \(1\) .
Чыныгы конструкция алда канча күчтүү куралдарды колдонот. Гаусс бүтүн сандары \(\mathbb{Z}[i]\) менен гана иштөөнүн ордуна, далилдөө татаалыраак алгебралык сан талааларын \(K=L(i)\) колдонот. Ал жерде форманын көптөгөн элементтери бар.
\[
u=\frac{\alpha}{c(\alpha)}
\]
курулган, мында \(c\) комплекстүү конъюгациянын ролун ойнойт. Чечүүчү таасир: тиешелүү комплекстүү киргизүүлөрдүн арасында бул \(u\) ар биринин чоңдугу \(1\) . Ошондуктан, алар көптөгөн ар кандай бирдик багыттары үчүн талапкерлер болуп саналат.
Оор сөздөр менен айтканда, чыныгы каршы мисал он чекиттүү кичинекей, кооз сүрөткө окшошпойт, тескерисинче, арифметикалык жол менен курулган чекиттердин чоң тобуна окшош. Сиз жогорку өлчөмдүү торчо алып, андан ылайыктуу чекиттерди кесип алып, анан аларды кадимки тегиздикке кайра проекциялайсыз. Далилдөө белгисинде бул болжол менен ... түрүндө көрсөтүлөт.
\[
P_j=\pi_1\big((y+\Lambda_j)\cap W\big),
\]
Башкача айтканда: Жылдырылган торчодон чекиттерди алып, аларды \(y+\Lambda_j\) \(W\) аймагы менен чектеп, аларды \(\pi_1\) менен комплекстүү координатага, б.а. \(\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2\) . Бул чекиттердин ортосундагы көптөгөн айырмачылыктар дал ушундай \(u\) элементтери болуп саналат, алар чоңдугу \(1\) . Ошондуктан, проекциядан кийин алар тегиздиктеги чыныгы бирдик аралыктарга айланат.
Визуалдык аналогия мындай: Стандарттык торчо оң, сол, өйдө жана ылдый сыяктуу бир нече жөнөкөй багыттарды колдонот. Бирок, жаңы конструкция алгебралык сандар теориясынан алынган көптөгөн жашыруун багыттарды жаратат. Ар бир багыт так бир бирдикке барабар. Мындай багыттар абдан көп болгондуктан жана аларга көптөгөн чекиттер дал келгендиктен, жалпы бирдик аралыктары эски гипотеза мүмкүндүк бергенден чоңураак.
Далилдөө кайдан келгени да көңүл бурууга арзыйт. OpenAI маалыматы боюнча, чечим бул маселе үчүн атайын даярдалган математикалык система тарабынан эмес, жалпы ой жүгүртүү модели аркылуу өз алдынча табылган. Андан кийин далилдөө ички жана тышкы жактан каралып чыгып, адам окуй турган формага келтирилген. Тышкы математиктердин коштомо жазууларында бул жөн гана белгилүү ыкманын автоматташтырылган версиясы эмес, дискреттик геометрия менен алгебралык сандар теориясынын ортосундагы күтүлбөгөн байланыш экени баса белгиленет.
Бул натыйжанын мынчалык кызыктуу болушунун чыныгы себеби ушунда болсо керек. Бул жөн гана жасалма интеллекттин маселени туура чечүүсү жөнүндө эмес. Бул көп адамдар үчүн түшүнүксүз болгон жолду табуу жөнүндө: сан теориясынын терең куралдарын колдонуп, тегиздиктеги аралыктар жөнүндөгү геометриялык маселени чечүү. Бул математиканы адамдык жактан анчалык деле начарлатпайт. Бирок ага жаңы, бир топ ыңгайсыз күчтүү атаандаш берет.