Algunos problemas matemáticos están formulados de forma tan sencilla que se pueden explicar a un niño, pero son tan difíciles que ocupan a generaciones de matemáticos. Un ejemplo es el problema de la distancia unitaria: si colocamos \(n\) puntos en el plano, ¿cuántos pares de puntos pueden tener una distancia de exactamente \(1\) ? Este problema se remonta a Paul Erdős y se ha estudiado desde 1946. OpenAI ha publicado que un modelo interno ha refutado una antigua conjetura sobre este problema.
A primera vista, la pregunta parece inofensiva. Si colocas \(n\) puntos en una línea recta, obtienes aproximadamente \(n-1\) intervalos de longitud \(1\) . Si dispones los puntos como una cuadrícula, como en papel cuadriculado, obtienes muchos más de estos intervalos: horizontal y verticalmente entre puntos adyacentes. Erdős ya había encontrado construcciones que eran algo mejores que la lineal. Sin embargo, durante mucho tiempo se creyó que esto no podía mejorarse significativamente. Formalmente, se asumía que el número máximo de tales intervalos unitarios solo crece aproximadamente \(n^{1+o(1)}\) , es decir, algo más rápido que \(n\) , pero no con un exponente adicional fijo.
Este es precisamente el punto sorprendente: el modelo de OpenAI (no se reveló cuál) construyó no solo un único contraejemplo, sino una familia infinita de conjuntos de puntos \(P\) para los cuales el número de distancias unitarias es al menos \(|P|^{1+\delta}\) , con un \(\delta>0\) fijo. Un refinamiento posterior realizado por Will Sawin, según OpenAI, incluso produce \(\delta=0{,}014\) . Esto parece pequeño, pero es matemáticamente enorme: ya no es un resto logarítmico, sino una verdadera ganancia polinómica.
Un ejemplo sencillo ilustra la idea básica. Consideremos el número complejo.
\[
u=\frac{2+i}{2-i}=\frac{3+4i}{5}=\frac35+\frac45i.
\]
Este número tiene un valor absoluto de \(1\) , porque
\[
\left|\frac35+\frac45i\right|=\sqrt{\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2}=1.
\]
Por lo tanto, si \(x\) es un punto en el plano, entonces \(x\) y \(x+u\) están exactamente \(1\) de distancia. Específicamente, por ejemplo, los puntos están ubicados en...
\[
0
\quad\text{und}\quad
\frac35+\frac45i
\]
exactamente a una unidad de distancia. Una expresión de teoría de números produce así una dirección geométrica de longitud \(1\) . Esta no es todavía la gran contraprueba, pero es la versión pequeña del truco: uno busca no solo distancias unitarias horizontales y verticales como en la cuadrícula, sino muchas direcciones generadas aritméticamente, todas las cuales tienen exactamente longitud \(1\) .
La construcción real utiliza herramientas significativamente más potentes. En lugar de trabajar solo con los enteros gaussianos \(\mathbb{Z}[i]\) , la demostración utiliza campos numéricos algebraicos más complicados \(K=L(i)\) . Allí, muchos elementos de la forma
\[
u=\frac{\alpha}{c(\alpha)}
\]
construido, donde \(c\) desempeña el papel de conjugación compleja. El efecto crucial es: entre las incrustaciones complejas relevantes, estos \(u\) tienen cada uno una magnitud de \(1\) . Por lo tanto, son candidatos para muchas direcciones unitarias diferentes.
En términos muy generales, un verdadero contraejemplo no se parece a una pequeña y bonita imagen con diez puntos, sino más bien a un enorme enjambre de puntos construido aritméticamente. Se toma una cuadrícula de alta dimensión, se extraen los puntos adecuados y luego se proyectan de nuevo sobre el plano ordinario. En notación de demostración, esto se expresa aproximadamente de la forma...
\[
P_j=\pi_1\big((y+\Lambda_j)\cap W\big),
\]
En otras palabras: se toman puntos de una cuadrícula desplazada \(y+\Lambda_j\) , se restringen mediante una región \(W\) y se proyectan con \(\pi_1\) sobre una coordenada compleja, es decir, sobre \(\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2\) . Muchas diferencias entre estos puntos son precisamente elementos \(u\) con magnitud \(1\) . Por lo tanto, después de la proyección, se convierten en distancias unitarias reales en el plano.
Una analogía visual sería la siguiente: la cuadrícula estándar utiliza unas pocas direcciones simples, como derecha, izquierda, arriba y abajo. Sin embargo, la nueva construcción genera una gran cantidad de direcciones ocultas derivadas de la teoría algebraica de números. Cada dirección tiene una longitud exacta de una unidad. Debido a la gran cantidad de direcciones de este tipo y a que muchos puntos les corresponden, la suma total de las distancias unitarias es mayor de lo que permitía la conjetura anterior.
Cabe destacar también el origen de la demostración. Según OpenAI, la solución fue hallada de forma autónoma por un modelo de razonamiento general, no por un sistema matemático entrenado específicamente para este problema. Posteriormente, la demostración fue revisada interna y externamente y presentada en un formato legible para humanos. Las notas adjuntas de matemáticos externos también enfatizan que no se trata simplemente de una versión automatizada de un método conocido, sino de una conexión inesperada entre la geometría discreta y la teoría algebraica de números.
Probablemente, esta sea la verdadera razón por la que este resultado es tan interesante. No se trata solo de que una IA resuelva un problema correctamente, sino de que encuentre una solución que no era obvia para muchos: abordar un problema geométrico sobre distancias en un plano con herramientas avanzadas de la teoría de números. Esto no hace que las matemáticas sean menos humanas, pero sí les plantea un nuevo e inquietante adversario.