Kelkaj matematikaj problemoj estas formulitaj tiel simple, ke oni povas klarigi ilin al infano, tamen tiel malfacilaj, ke ili okupas generaciojn de matematikistoj. Unu tia problemo estas la tiel nomata problemo de unuodistanco: Metu \(n\) punktojn en la ebenon. Kiom da paroj da punktoj povas tiam havi distancon de ekzakte \(1\) ? La problemo devenas de Paul Erdős kaj estas studata ekde 1946. OpenAI nun publikigis, ke interna modelo refutis delonge tenata supozo pri ĉi tiu problemo.
Unuavide, la demando ŝajnas sendanĝera. Se oni metas \(n\) punktojn sur rektan linion, oni ricevas proksimume \(n-1\) intervalojn de longo \(1\) . Se oni aranĝas la punktojn kiel kradon, kiel sur grafika papero, oni ricevas signife pli da tiaj intervaloj: horizontale kaj vertikale inter apudaj punktoj. Erdős jam trovis konstruojn, kiuj estis iom pli bonaj ol liniaj. Tamen, dum longa tempo oni kredis, ke tio ne povus esti signife plibonigita. Formale, la supozo estis, ke la maksimuma nombro de tiaj unuoblaj intervaloj kreskas nur proksimume \(n^{1+o(1)}\) , tio estas, iom pli rapide ol \(n\) , sed ne kun fiksa aldona eksponento.
Jen ĝuste la surpriza punkto: La modelo de OpenAI (kiu ne estis malkaŝita) konstruis ne nur unu kontraŭekzemplon, sed senfinan familion de punktaj aroj \(P\) por kiuj la nombro de unuoblaj distancoj estas almenaŭ \(|P|^{1+\delta}\) , kun fiksa \(\delta>0\) . Pli posta rafinado fare de Will Sawin, laŭ OpenAI, eĉ donas \(\delta=0{,}014\) . Ĉi tio sonas malgranda, sed estas matematike grandega: Ĝi jam ne estas logaritma resto, sed vera polinoma gajno.
Simpla ekzemplo ilustras la bazan ideon. Ni konsideru la kompleksan nombron
\[
u=\frac{2+i}{2-i}=\frac{3+4i}{5}=\frac35+\frac45i.
\]
Ĉi tiu nombro havas absolutan valoron de \(1\) , ĉar
\[
\left|\frac35+\frac45i\right|=\sqrt{\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2}=1.
\]
Tial, se \(x\) estas punkto en la ebeno, tiam \(x\) kaj \(x+u\) estas ekzakte \(1\) aparte. Specife, ekzemple, la punktoj situas ĉe...
\[
0
\quad\text{und}\quad
\frac35+\frac45i
\]
ekzakte unu unuon aparte. Nombro-teoria esprimo tiel donas geometrian direkton de longo \(1\) . Ĉi tio ankoraŭ ne estas la granda kontraŭpruvo, sed ĝi estas la malgranda versio de la truko: oni serĉas ne nur horizontalajn kaj vertikalajn unuodistancojn kiel en la krado, sed multajn aritmetike generitajn direktojn, kiuj ĉiuj havas ekzakte longon \(1\) .
La efektiva konstruo uzas signife pli potencajn ilojn. Anstataŭ labori nur kun la gaŭsaj entjeroj \(\mathbb{Z}[i]\) , la pruvo uzas pli komplikajn algebrajn nombrokampojn \(K=L(i)\) . Tie, multaj elementoj de la formo
\[
u=\frac{\alpha}{c(\alpha)}
\]
konstruita, kie \(c\) ludas la rolon de kompleksa konjugacio. La decida efiko estas: inter la koncernaj kompleksaj enkorpigoj, ĉi tiuj \(u\) ĉiu havas magnitudon de \(1\) . Ili do estas kandidatoj por multaj malsamaj unuaj direktoj.
Tre mallonge dirite, vera kontraŭekzemplo ne aspektas kiel malgranda, bela bildo kun dek punktoj, sed prefere kiel grandega, aritmetike konstruita svarmo de punktoj. Vi prenas altdimensian kradon, eltranĉas taŭgajn punktojn el ĝi, kaj poste projekcias ĉi tiujn reen sur la ordinaran ebenon. En pruvnotacio, ĉi tio estas esprimita malglate en la formo...
\[
P_j=\pi_1\big((y+\Lambda_j)\cap W\big),
\]
Alivorte: Oni prenas punktojn el ŝovita krado \(y+\Lambda_j\) , limigas ilin per regiono \(W\) , kaj projekcias ilin per \(\pi_1\) sur kompleksan koordinaton, t.e., sur \(\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2\) . Multaj diferencoj inter ĉi tiuj punktoj estas do ĝuste tiaj \(u\) elementoj kun magnitudo \(1\) . Tial, post la projekcio, ili fariĝas veraj unuodistancoj en la ebeno.
Vida analogeco estas jena: La norma krado uzas kelkajn simplajn direktojn, kiel dekstren, maldekstren, supren kaj malsupren. La nova konstruo, tamen, generas vastan nombron da kaŝitaj direktoj derivitaj de algebra nombroteorio. Ĉiu direkto estas ekzakte unu unuon longa. Ĉar ekzistas tiom da tiaj direktoj kaj multaj punktoj respondas al ili, la totalaj unuodistancoj estas pli grandaj ol la malnova supozo permesus.
Rimarkinde ankaŭ estas, de kie venas la pruvo. Laŭ OpenAI, la solvo estis trovita aŭtonome per ĝenerala rezonadmodelo, ne per matematika sistemo specife trejnita por ĉi tiu problemo. La pruvo estis poste reviziita interne kaj ekstere kaj prezentita en homlegeblan formon. La aldonitaj notoj de eksteraj matematikistoj ankaŭ emfazas, ke ĉi tio ne estas nur aŭtomatigita versio de konata metodo, sed neatendita ligo inter diskreta geometrio kaj algebra nombroteorio.
Jen verŝajne la vera kialo, kial ĉi tiu rezulto estas tiel interesa. Ne temas nur pri tio, ke artefarita inteligenteco solvas problemon ĝuste. Temas pri tio, ke ĝi trovas manieron, kiu ne estis evidenta al multaj homoj: pritrakti geometrian problemon pri distancoj en ebeno per profundaj iloj el nombroteorio. Ĉi tio ne igas matematikon malpli homa. Sed ĝi donas al ĝi novan, sufiĉe malkomforte potencan kontraŭulon.