Sommige wiskundige problemen zijn zo eenvoudig geformuleerd dat ze aan een kind uitgelegd kunnen worden, maar tegelijkertijd zo complex dat ze generaties wiskundigen bezighouden. Een voorbeeld hiervan is het zogenaamde eenheidsafstandsprobleem: plaats \(n\) punten in het vlak. Hoeveel paren punten kunnen dan een afstand van precies \(1\) hebben? Het probleem stamt uit de tijd van Paul Erdős en wordt sinds 1946 bestudeerd. OpenAI heeft nu gepubliceerd dat een intern model een lang bestaande veronderstelling over dit probleem heeft weerlegd.
Op het eerste gezicht lijkt de vraag onschuldig. Als je \(n\) punten op een rechte lijn plaatst, krijg je ongeveer \(n-1\) intervallen van lengte \(1\) . Als je de punten in een raster rangschikt, zoals op grafiekpapier, krijg je aanzienlijk meer van deze intervallen: horizontaal en verticaal tussen aangrenzende punten. Erdős had al constructies gevonden die iets beter waren dan lineair. Lange tijd werd echter aangenomen dat dit niet significant verbeterd kon worden. Formeel werd aangenomen dat het maximale aantal van dergelijke eenheidsintervallen slechts ongeveer \(n^{1+o(1)}\) groeit, dat wil zeggen, iets sneller dan \(n\) , maar niet met een vaste extra exponent.
Dit is precies het verrassende punt: het OpenAI-model (welk model, werd niet bekendgemaakt) construeerde niet slechts één tegenvoorbeeld, maar een oneindige familie van puntverzamelingen \(P\) waarvoor het aantal eenheidsafstanden minstens \(|P|^{1+\delta}\) is, met een vaste \(\delta>0\) . Een latere verfijning door Will Sawin, volgens OpenAI, levert zelfs \(\delta=0{,}014\) op. Dit klinkt klein, maar is wiskundig enorm: het is niet langer een logaritmische rest, maar een echte polynomiale winst.
Een eenvoudig voorbeeld illustreert het basisidee. Laten we eens kijken naar een complex getal.
\[
u=\frac{2+i}{2-i}=\frac{3+4i}{5}=\frac35+\frac45i.
\]
Dit getal heeft een absolute waarde van \(1\) , omdat
\[
\left|\frac35+\frac45i\right|=\sqrt{\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2}=1.
\]
Als \(x\) een punt in het vlak is, dan liggen \(x\) en \(x+u\) precies \(1\) uit elkaar. In het bijzonder bevinden de punten zich bijvoorbeeld op...
\[
0
\quad\text{und}\quad
\frac35+\frac45i
\]
precies één eenheid van elkaar verwijderd. Een getaltheoretische uitdrukking levert dus een geometrische richting op met lengte \(1\) . Dit is nog niet het grote tegenbewijs, maar wel de kleine versie van de truc: men zoekt niet alleen naar horizontale en verticale afstanden van eenheden zoals in het raster, maar naar vele rekenkundig gegenereerde richtingen, die allemaal precies lengte \(1\) hebben.
De feitelijke constructie maakt gebruik van aanzienlijk krachtigere hulpmiddelen. In plaats van alleen met de Gaussische gehele getallen \(\mathbb{Z}[i]\) te werken, gebruikt het bewijs complexere algebraïsche getallenvelden \(K=L(i)\) . Daarin komen veel elementen van de vorm voor.
\[
u=\frac{\alpha}{c(\alpha)}
\]
geconstrueerd, waarbij \(c\) de rol van complexe conjugatie speelt. Het cruciale effect is: van de relevante complexe inbeddingen hebben deze \(u\) elk een grootte van \(1\) . Ze zijn daarom kandidaten voor veel verschillende eenheidsrichtingen.
Heel grofweg gezegd, ziet een echt tegenvoorbeeld er niet uit als een klein, mooi plaatje met tien stippen, maar eerder als een enorme, rekenkundig geconstrueerde zwerm stippen. Je neemt een raster met meerdere dimensies, snijdt er geschikte punten uit en projecteert deze vervolgens terug op het gewone vlak. In bewijsnotatie wordt dit ruwweg uitgedrukt in de vorm...
\[
P_j=\pi_1\big((y+\Lambda_j)\cap W\big),
\]
Met andere woorden: men neemt punten uit een verschoven raster \(y+\Lambda_j\) , beperkt deze tot een gebied \(W\) , en projecteert ze met \(\pi_1\) op een complexe coördinaat, d.w.z. op \(\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2\) . Veel verschillen tussen deze punten zijn dan precies zulke \(u\) elementen met grootte \(1\) . Na de projectie worden het dus werkelijke eenheidsafstanden in het vlak.
Een visuele analogie is als volgt: het standaard raster gebruikt een paar eenvoudige richtingen, zoals rechts, links, omhoog en omlaag. De nieuwe constructie genereert echter een enorm aantal verborgen richtingen, afgeleid van de algebraïsche getaltheorie. Elke richting is precies één eenheid lang. Omdat er zoveel van zulke richtingen zijn en veel punten ermee corresponderen, zijn de totale afstanden groter dan de oude hypothese zou toestaan.
Het is ook opmerkelijk waar het bewijs vandaan komt. Volgens OpenAI werd de oplossing autonoom gevonden door een algemeen redeneermodel, en niet door een wiskundig systeem dat specifiek voor dit probleem was getraind. Het bewijs werd vervolgens intern en extern beoordeeld en in een voor mensen leesbare vorm gegoten. De begeleidende toelichtingen van externe wiskundigen benadrukken bovendien dat dit niet zomaar een geautomatiseerde versie van een bekende methode is, maar een onverwachte verbinding tussen discrete meetkunde en algebraïsche getaltheorie.
Dit is waarschijnlijk de werkelijke reden waarom dit resultaat zo interessant is. Het gaat niet alleen om een AI die een probleem correct oplost. Het gaat erom dat de AI een manier vindt die voor velen niet voor de hand lag: een geometrisch probleem over afstanden in een vlak aanpakken met behulp van geavanceerde instrumenten uit de getaltheorie. Dit maakt wiskunde niet minder menselijk. Maar het geeft de wiskunde wel een nieuwe, nogal ongemakkelijk krachtige tegenstander.