Sesetengah masalah matematik dirumuskan dengan begitu mudah supaya ia boleh dijelaskan kepada seorang kanak-kanak, namun begitu sukar sehingga ia memenuhi jangkaan generasi ahli matematik. Salah satu masalah tersebut ialah apa yang dipanggil masalah jarak unit: Letakkan \(n\) titik dalam satah. Berapa banyak pasang titik yang kemudiannya boleh mempunyai jarak tepat \(1\) ? Masalah ini bermula sejak Paul Erdős dan telah dikaji sejak tahun 1946. OpenAI kini telah menerbitkan bahawa model dalaman telah membuktikan bahawa model dalaman telah menyangkal andaian yang telah lama dipegang tentang masalah ini.
Pada pandangan pertama, soalan ini kedengaran tidak berbahaya. Jika anda meletakkan titik \(n\) pada garis lurus, anda akan mendapat selang \(n-1\) dengan panjang \(1\) . Jika anda menyusun titik-titik tersebut sebagai grid, seperti pada kertas graf, anda akan mendapat lebih banyak selang ini: secara mendatar dan menegak antara titik bersebelahan. Erdős telah menemui binaan yang agak lebih baik daripada linear. Walau bagaimanapun, untuk masa yang lama, dipercayai bahawa ini tidak dapat diperbaiki dengan ketara. Secara formal, andaian adalah bahawa bilangan maksimum selang unit sedemikian hanya berkembang kira-kira \(n^{1+o(1)}\) , iaitu, agak lebih cepat daripada \(n\) , tetapi tidak dengan eksponen tambahan yang tetap.
Inilah sebenarnya perkara yang mengejutkan: Model OpenAI (yang mana satu tidak didedahkan) bukan sahaja membina satu contoh balas, tetapi satu keluarga set titik tak terhingga \(P\) yang mana bilangan jarak unit sekurang-kurangnya \(|P|^{1+\delta}\) , dengan \(\delta>0\) tetap. Penambahbaikan kemudian oleh Will Sawin, menurut OpenAI, malah menghasilkan \(\delta=0{,}014\) . Ini kedengaran kecil, tetapi secara matematiknya sangat besar: Ia bukan lagi baki logaritma, tetapi gandaan polinomial sebenar.
Satu contoh mudah menggambarkan idea asas. Mari kita pertimbangkan nombor kompleks
\[
u=\frac{2+i}{2-i}=\frac{3+4i}{5}=\frac35+\frac45i.
\]
Nombor ini mempunyai nilai mutlak \(1\) , kerana
\[
\left|\frac35+\frac45i\right|=\sqrt{\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2}=1.
\]
Oleh itu, jika \(x\) ialah satu titik dalam satah, maka \(x\) dan \(x+u\) berada betul-betul \(1\) jaraknya. Secara khususnya, sebagai contoh, titik-titik tersebut terletak di...
\[
0
\quad\text{und}\quad
\frac35+\frac45i
\]
tepat satu unit antara satu sama lain. Oleh itu, ungkapan teori nombor menghasilkan arah geometri panjang \(1\) . Ini belum lagi merupakan bukti balas yang besar, tetapi ia adalah versi kecil helah ini: seseorang bukan sahaja mencari jarak unit mendatar dan menegak seperti dalam grid, tetapi juga banyak arah yang dijana secara aritmetik, yang semuanya mempunyai panjang yang tepat \(1\) .
Pembinaan sebenar menggunakan alat yang jauh lebih berkuasa. Daripada hanya berfungsi dengan integer Gaussian \(\mathbb{Z}[i]\) , buktinya menggunakan medan nombor algebra yang lebih rumit \(K=L(i)\) . Di sana, banyak elemen bentuk
\[
u=\frac{\alpha}{c(\alpha)}
\]
dibina, di mana \(c\) memainkan peranan konjugasi kompleks. Kesan pentingnya ialah: antara penyematan kompleks yang berkaitan, \(u\) ini setiap satunya mempunyai magnitud \(1\) . Oleh itu, ia adalah calon untuk pelbagai arah unit yang berbeza.
Secara kasarnya, contoh balas yang sebenar tidak kelihatan seperti gambar kecil yang cantik dengan sepuluh titik, tetapi sebaliknya seperti sekumpulan titik yang besar dan dibina secara aritmetik. Anda mengambil grid berdimensi tinggi, memotong titik yang sesuai daripadanya, dan kemudian memproyeksikannya kembali ke satah biasa. Dalam notasi bukti, ini dinyatakan secara kasar dalam bentuk...
\[
P_j=\pi_1\big((y+\Lambda_j)\cap W\big),
\]
Dalam erti kata lain: Seseorang mengambil titik daripada grid yang dialihkan \(y+\Lambda_j\) , mengehadkannya mengikut rantau \(W\) , dan memproyeksikannya dengan \(\pi_1\) ke atas koordinat kompleks, iaitu, ke atas \(\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2\) . Banyak perbezaan antara titik-titik ini kemudiannya merupakan elemen \(u\) sedemikian dengan magnitud \(1\) . Oleh itu, selepas unjuran, ia menjadi jarak unit sebenar dalam satah.
Analogi visualnya begini: Grid standard menggunakan beberapa arah mudah, seperti kanan, kiri, atas dan bawah. Walau bagaimanapun, pembinaan baharu ini menghasilkan sejumlah besar arah tersembunyi yang diperoleh daripada teori nombor algebra. Setiap arah adalah tepat satu unit panjang. Oleh kerana terdapat begitu banyak arah sedemikian dan banyak titik yang sepadan dengannya, jumlah jarak unit adalah lebih besar daripada yang dibenarkan oleh tekaan lama.
Perlu juga diberi perhatian dari mana bukti itu datang. Menurut OpenAI, penyelesaian itu ditemui secara autonomi oleh model penaakulan umum, bukan oleh sistem matematik yang dilatih khusus untuk masalah ini. Bukti itu kemudiannya disemak secara dalaman dan luaran dan diterjemahkan ke dalam bentuk yang boleh dibaca oleh manusia. Nota-nota yang disertakan daripada ahli matematik luaran juga menekankan bahawa ini bukan sekadar versi automatik kaedah yang diketahui, tetapi hubungan yang tidak dijangka antara geometri diskret dan teori nombor algebra.
Inilah mungkin sebab sebenar mengapa hasil ini begitu menarik. Ia bukan sekadar tentang AI yang menyelesaikan masalah dengan betul. Ia tentang mencari jalan yang tidak jelas bagi ramai orang: menangani masalah geometri tentang jarak dalam satah dengan alat mendalam daripada teori nombor. Ini tidak menjadikan matematik kurang berperikemanusiaan. Tetapi ia memberikannya lawan baharu yang agak berkuasa dan tidak selesa.