Некоторые математические задачи сформулированы настолько просто, что их можно объяснить даже ребёнку, и в то же время настолько сложны, что занимают целые поколения математиков. Одна из таких задач — так называемая задача о единичном расстоянии: расположите \(n\) точек на плоскости. Сколько пар точек могут иметь расстояние, равное ровно \(1\) ? Эта задача восходит к работам Пола Эрдоша и изучается с 1946 года. Компания OpenAI опубликовала результаты исследования, в которых внутренняя модель опровергла давнюю гипотезу об этой проблеме.
На первый взгляд, вопрос кажется безобидным. Если расположить \(n\) точек на прямой линии, получится приблизительно \(n-1\) интервалов длиной \(1\) . Если расположить точки в виде сетки, как на миллиметровой бумаге, таких интервалов станет значительно больше: как по горизонтали, так и по вертикали между соседними точками. Эрдош уже нашёл конструкции, которые были несколько лучше линейных. Однако долгое время считалось, что существенно улучшить это невозможно. Формально предполагалось, что максимальное число таких единичных интервалов растёт лишь приблизительно \(n^{1+o(1)}\) , то есть несколько быстрее, чем \(n\) , но не с фиксированным дополнительным показателем степени.
Именно это и вызывает удивление: модель OpenAI (какая именно, не разглашается) построила не просто один контрпример, а бесконечное семейство множеств точек \(P\) для которых число единичных расстояний составляет не менее \(|P|^{1+\delta}\) , с фиксированным \(\delta>0\) . Более позднее уточнение, проведенное Уиллом Савином, согласно OpenAI, даже дает \(\delta=0{,}014\) . Это звучит незначительно, но математически это огромно: это уже не логарифмический остаток, а истинный полиномиальный выигрыш.
Простой пример иллюстрирует основную идею. Рассмотрим комплексное число.
\[
u=\frac{2+i}{2-i}=\frac{3+4i}{5}=\frac35+\frac45i.
\]
Это число имеет абсолютное значение \(1\) , потому что
\[
\left|\frac35+\frac45i\right|=\sqrt{\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2}=1.
\]
Следовательно, если \(x\) — точка на плоскости, то \(x\) и \(x+u\) находятся на расстоянии ровно \(1\) друг от друга. В частности, например, эти точки расположены в...
\[
0
\quad\text{und}\quad
\frac35+\frac45i
\]
ровно на одну единицу друг от друга. Таким образом, теоретико-числовое выражение дает геометрическое направление длиной \(1\) . Это еще не полное контрдоказательство, но это упрощенная версия трюка: ищутся не только горизонтальные и вертикальные единичные расстояния, как в сетке, но и множество арифметически сгенерированных направлений, каждое из которых имеет ровно длину \(1\) .
Фактическая конструкция использует значительно более мощные инструменты. Вместо работы только с гауссовыми целыми числами \(\mathbb{Z}[i]\) , доказательство использует более сложные алгебраические числовые поля \(K=L(i)\) . Там многие элементы вида
\[
u=\frac{\alpha}{c(\alpha)}
\]
построена структура, где \(c\) играет роль комплексного сопряжения. Ключевой эффект заключается в том, что среди соответствующих комплексных вложений каждое из этих \(u\) имеет величину \(1\) . Следовательно, они являются кандидатами на множество различных единичных направлений.
В самых общих чертах, настоящий контрпример выглядит не как маленькая красивая картинка с десятью точками, а скорее как огромный, арифметически построенный рой точек. Вы берете многомерную сетку, вырезаете из нее подходящие точки, а затем проецируете их обратно на обычную плоскость. В обозначениях доказательства это примерно выражается в форме...
\[
P_j=\pi_1\big((y+\Lambda_j)\cap W\big),
\]
Другими словами: берутся точки из сдвинутой сетки \(y+\Lambda_j\) , ограничиваются областью \(W\) и проецируются с помощью \(\pi_1\) на комплексную координату, т.е. на \(\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2\) . Многие разности между этими точками затем точно соответствуют таким элементам \(u\) с величиной \(1\) . Следовательно, после проекции они становятся истинными единичными расстояниями на плоскости.
Визуальная аналогия такова: стандартная сетка использует несколько простых направлений, таких как вправо, влево, вверх и вниз. Однако новая конструкция генерирует огромное количество скрытых направлений, выведенных из алгебраической теории чисел. Каждое направление имеет длину ровно одну единицу. Поскольку таких направлений очень много, и им соответствует множество точек, общие расстояния в единицу превышают те, которые допускала старая гипотеза.
Также примечательно происхождение доказательства. По данным OpenAI, решение было найдено автономно с помощью общей модели рассуждений, а не математической системой, специально обученной для решения этой задачи. Затем доказательство было проверено внутри и вне организации и представлено в удобочитаемом виде. Сопроводительные примечания сторонних математиков также подчеркивают, что это не просто автоматизированная версия известного метода, а неожиданная связь между дискретной геометрией и алгебраической теорией чисел.
Вероятно, именно в этом и заключается истинная причина интересности этого результата. Дело не просто в том, что ИИ правильно решил задачу. Дело в том, что он нашел способ, который был неочевиден для многих: он решил геометрическую задачу о расстояниях на плоскости, используя глубокие инструменты теории чисел. Это не делает математику менее человеческой. Но это дает ей нового, довольно неприятно сильного противника.