কিছু গাণিতিক সমস্যা এত সহজভাবে তৈরি করা হয় যে তা একটি শিশুকেও বোঝানো যায়, অথচ সেগুলো এত কঠিন যে গণিতবিদদের প্রজন্মের পর প্রজন্ম ব্যস্ত রাখে। এমনই একটি সমস্যা হলো তথাকথিত একক দূরত্ব সমস্যা: একটি সমতলে \(n\) সংখ্যক বিন্দু স্থাপন করুন। তাহলে কত জোড়া বিন্দুর মধ্যে দূরত্ব ঠিক \(1\) হতে পারে? এই সমস্যাটির সূত্রপাত পল এরডসের হাত ধরে এবং ১৯৪৬ সাল থেকে এটি নিয়ে গবেষণা হয়ে আসছে। ওপেনএআই (OpenAI) এখন প্রকাশ করেছে যে, তাদের একটি অভ্যন্তরীণ মডেল এই সমস্যাটি সম্পর্কে দীর্ঘদিনের একটি ধারণাকে ভুল প্রমাণ করেছে।
প্রথম দৃষ্টিতে, প্রশ্নটি নিরীহ মনে হয়। যদি আপনি একটি সরলরেখার উপর \(n\) টি বিন্দু স্থাপন করেন, তাহলে আপনি আনুমানিক \(n-1\) \(1\) দৈর্ঘ্যের ব্যবধি পাবেন। যদি আপনি বিন্দুগুলোকে গ্রাফ পেপারের মতো একটি গ্রিড আকারে সাজান, তাহলে আপনি এই ব্যবধিগুলোর উল্লেখযোগ্যভাবে বেশি সংখ্যা পাবেন: পাশাপাশি বিন্দুগুলোর মধ্যে আনুভূমিকভাবে এবং উল্লম্বভাবে। এরডোস ইতিমধ্যেই এমন কিছু অঙ্কন পদ্ধতি খুঁজে পেয়েছিলেন যা রৈখিক পদ্ধতির চেয়ে কিছুটা ভালো ছিল। তবে, দীর্ঘকাল ধরে বিশ্বাস করা হতো যে এটিকে উল্লেখযোগ্যভাবে উন্নত করা সম্ভব নয়। আনুষ্ঠানিকভাবে, ধরে নেওয়া হতো যে এই ধরনের একক ব্যবধির সর্বোচ্চ সংখ্যা কেবল আনুমানিক \(n^{1+o(1)}\) হারে বৃদ্ধি পায়, অর্থাৎ, \(n\) এর চেয়ে কিছুটা দ্রুত, কিন্তু একটি নির্দিষ্ট অতিরিক্ত সূচক সহ নয়।
আশ্চর্যজনক বিষয়টি ঠিক এখানেই: ওপেনএআই মডেলটি (কোনটি, তা প্রকাশ করা হয়নি) শুধু একটিমাত্র পাল্টা-উদাহরণই তৈরি করেনি, বরং বিন্দু সেটের একটি অসীম পরিবার \(P\) তৈরি করেছে, যার জন্য একক দূরত্বের সংখ্যা অন্তত \(|P|^{1+\delta}\) , যেখানে \(\delta>0\) স্থির। ওপেনএআই-এর মতে, উইল সউইনের করা একটি পরবর্তী পরিমার্জনে এমনকি \(\delta=0{,}014\) পাওয়া যায়। এটি শুনতে সামান্য মনে হলেও, গাণিতিকভাবে এটি বিশাল: এটি আর লগারিদমিক ভাগশেষ নয়, বরং একটি প্রকৃত বহুপদী লাভ।
একটি সহজ উদাহরণ মূল ধারণাটি ব্যাখ্যা করে। ধরা যাক জটিল সংখ্যা
\[
u=\frac{2+i}{2-i}=\frac{3+4i}{5}=\frac35+\frac45i.
\]
এই সংখ্যাটির পরম মান \(1\) , কারণ
\[
\left|\frac35+\frac45i\right|=\sqrt{\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2}=1.
\]
সুতরাং, যদি \(x\) সমতলের একটি বিন্দু হয়, তাহলে \(x\) এবং \(x+u\) ঠিক \(1\) দূরত্বে থাকবে। বিশেষত, উদাহরণস্বরূপ, বিন্দুগুলো অবস্থিত...
\[
0
\quad\text{und}\quad
\frac35+\frac45i
\]
ঠিক এক একক দূরে। এইভাবে একটি সংখ্যাতাত্ত্বিক রাশি \(1\) দৈর্ঘ্যের একটি জ্যামিতিক দিক প্রদান করে। এটি এখনও মহৎ পাল্টা-প্রমাণ নয়, তবে এটি কৌশলটির ছোট সংস্করণ: গ্রিডের মতো কেবল অনুভূমিক এবং উল্লম্ব একক দূরত্বই নয়, বরং গাণিতিকভাবে উৎপন্ন অনেক দিক খোঁজা হয়, যেগুলোর সবগুলোর দৈর্ঘ্য ঠিক \(1\) ।
প্রকৃত নির্মাণে উল্লেখযোগ্যভাবে আরও শক্তিশালী সরঞ্জাম ব্যবহার করা হয়। শুধুমাত্র গাউসিয়ান পূর্ণসংখ্যা \(\mathbb{Z}[i]\) নিয়ে কাজ করার পরিবর্তে, প্রমাণটিতে আরও জটিল বীজগাণিতিক সংখ্যা ক্ষেত্র \(K=L(i)\) ব্যবহার করা হয়। সেখানে, এই ধরনের অনেক উপাদান রয়েছে
\[
u=\frac{\alpha}{c(\alpha)}
\]
এভাবে গঠন করা হয়েছে, যেখানে \(c\) জটিল অনুবন্ধীর ভূমিকা পালন করে। এর গুরুত্বপূর্ণ প্রভাবটি হলো: প্রাসঙ্গিক জটিল এম্বেডিংগুলোর মধ্যে, এই \(u\) গুলোর প্রত্যেকটির মান \(1\) । তাই এগুলো বিভিন্ন একক দিকের জন্য সম্ভাব্য প্রার্থী।
খুব সহজভাবে বলতে গেলে, একটি সত্যিকারের বিপরীত উদাহরণ দশটি বিন্দুযুক্ত একটি ছোট, সুন্দর ছবির মতো দেখতে হয় না, বরং এটি গাণিতিকভাবে নির্মিত বিন্দুর একটি বিশাল ঝাঁকের মতো। এক্ষেত্রে একটি উচ্চ-মাত্রিক গ্রিড নিয়ে, সেখান থেকে উপযুক্ত বিন্দু কেটে বের করা হয় এবং তারপর সেগুলোকে সাধারণ তলে প্রক্ষেপণ করা হয়। প্রমাণের সংকেত পদ্ধতিতে, এটিকে মোটামুটিভাবে এই আকারে প্রকাশ করা হয়...
\[
P_j=\pi_1\big((y+\Lambda_j)\cap W\big),
\]
অন্য কথায়: একটি স্থানান্তরিত গ্রিড \(y+\Lambda_j\) থেকে বিন্দু নেওয়া হয়, সেগুলোকে একটি অঞ্চল \(W\) দ্বারা সীমাবদ্ধ করা হয়, এবং \(\pi_1\) সাপেক্ষে একটি জটিল স্থানাঙ্কের উপর, অর্থাৎ \(\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2\) -এর উপর প্রক্ষেপণ করা হয়। তখন এই বিন্দুগুলোর মধ্যেকার অনেক পার্থক্যই হয় ঠিক এমন \(u\) সংখ্যক উপাদান যাদের মান \(1\) । অতএব, প্রক্ষেপণের পর, এগুলো সমতলে প্রকৃত একক দূরত্বে পরিণত হয়।
এর একটি চাক্ষুষ উপমা হলো: প্রচলিত গ্রিডে ডান, বাম, উপর এবং নীচের মতো কয়েকটি সরল দিক ব্যবহৃত হয়। কিন্তু নতুন এই গঠনটি বীজগাণিতিক সংখ্যাতত্ত্ব থেকে উদ্ভূত বিপুল সংখ্যক লুকানো দিক তৈরি করে। প্রতিটি দিকের দৈর্ঘ্য ঠিক এক একক। যেহেতু এই ধরনের দিক অনেক এবং অনেক বিন্দু সেগুলোর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, তাই মোট একক দূরত্ব পুরোনো অনুমানের অনুমোদিত সীমার চেয়ে বেশি হয়।
প্রমাণটি কোথা থেকে এসেছে, সেটাও লক্ষণীয়। ওপেনএআই-এর মতে, সমাধানটি এই সমস্যার জন্য বিশেষভাবে প্রশিক্ষিত কোনো গাণিতিক সিস্টেম দ্বারা নয়, বরং একটি সাধারণ যুক্তি মডেল দ্বারা স্বয়ংক্রিয়ভাবে আবিষ্কৃত হয়েছিল। এরপর প্রমাণটি অভ্যন্তরীণ ও বাহ্যিকভাবে পর্যালোচনা করা হয় এবং মানুষের পাঠযোগ্য আকারে উপস্থাপন করা হয়। বহিরাগত গণিতবিদদের দেওয়া সহগামী টীকাগুলোতেও এই বিষয়টির ওপর জোর দেওয়া হয়েছে যে, এটি কেবল একটি পরিচিত পদ্ধতির স্বয়ংক্রিয় সংস্করণ নয়, বরং বিচ্ছিন্ন জ্যামিতি এবং বীজগাণিতিক সংখ্যা তত্ত্বের মধ্যে একটি অপ্রত্যাশিত সংযোগ।
সম্ভবত এই কারণেই এই ফলাফলটি এত আকর্ষণীয়। ব্যাপারটা শুধু একটি এআই-এর সঠিকভাবে কোনো সমস্যার সমাধান করার মধ্যে সীমাবদ্ধ নয়। বরং এটি এমন একটি পথ খুঁজে বের করেছে যা অনেকের কাছেই স্পষ্ট ছিল না: সংখ্যাতত্ত্বের গভীর সরঞ্জাম ব্যবহার করে একটি সমতলের দূরত্ব সম্পর্কিত জ্যামিতিক সমস্যার সমাধান করা। এতে গণিত কোনোভাবেই কম মানবিক হয়ে যায় না। কিন্তু এটি গণিতকে একটি নতুন, বরং অস্বস্তিকরভাবে শক্তিশালী প্রতিপক্ষ এনে দেয়।