Ορισμένα μαθηματικά προβλήματα διατυπώνονται τόσο απλά που μπορούν να εξηγηθούν σε ένα παιδί, αλλά είναι τόσο δύσκολα που απασχολούν γενιές μαθηματικών. Ένα τέτοιο πρόβλημα είναι το λεγόμενο πρόβλημα μοναδιαίας απόστασης: Τοποθετήστε \(n\) σημεία στο επίπεδο. Πόσα ζεύγη σημείων μπορούν τότε να έχουν απόσταση ακριβώς \(1\) ; Το πρόβλημα χρονολογείται από τον Paul Erdős και μελετάται από το 1946. Το OpenAI δημοσίευσε τώρα ότι ένα εσωτερικό μοντέλο έχει διαψεύσει μια μακροχρόνια εικασία σχετικά με αυτό το πρόβλημα.
Με την πρώτη ματιά, το ερώτημα ακούγεται ακίνδυνο. Αν τοποθετήσετε \(n\) σημεία σε μια ευθεία γραμμή, λαμβάνετε περίπου \(n-1\) διαστήματα μήκους \(1\) . Αν τοποθετήσετε τα σημεία ως πλέγμα, όπως σε χαρτί γραφικών παραστάσεων, λαμβάνετε σημαντικά περισσότερα από αυτά τα διαστήματα: οριζόντια και κάθετα μεταξύ γειτονικών σημείων. Ο Erdős είχε ήδη βρει κατασκευές που ήταν κάπως καλύτερες από τις γραμμικές. Για πολύ καιρό, ωστόσο, πιστευόταν ότι αυτό δεν μπορούσε να βελτιωθεί σημαντικά. Τυπικά, η υπόθεση ήταν ότι ο μέγιστος αριθμός τέτοιων μοναδιαίων διαστημάτων αυξάνεται μόνο περίπου \(n^{1+o(1)}\) , δηλαδή, κάπως πιο γρήγορα από \(n\) , αλλά όχι με σταθερό επιπλέον εκθέτη.
Αυτό ακριβώς είναι το εκπληκτικό σημείο: Το μοντέλο OpenAI (το οποίο δεν αποκαλύφθηκε) κατασκεύασε όχι μόνο ένα μόνο αντιπαράδειγμα, αλλά μια άπειρη οικογένεια σημειακών συνόλων \(P\) για τα οποία ο αριθμός των μοναδιαίων αποστάσεων είναι τουλάχιστον \(|P|^{1+\delta}\) , με σταθερό \(\delta>0\) . Μια μεταγενέστερη βελτίωση από τον Will Sawin, σύμφωνα με το OpenAI, αποδίδει ακόμη και \(\delta=0{,}014\) . Αυτό ακούγεται μικρό, αλλά είναι μαθηματικά τεράστιο: Δεν είναι πλέον λογαριθμικό υπόλοιπο, αλλά ένα πραγματικό πολυωνυμικό κέρδος.
Ένα απλό παράδειγμα επεξηγεί τη βασική ιδέα. Ας εξετάσουμε τον μιγαδικό αριθμό
\[
u=\frac{2+i}{2-i}=\frac{3+4i}{5}=\frac35+\frac45i.
\]
Αυτός ο αριθμός έχει απόλυτη τιμή \(1\) , επειδή
\[
\left|\frac35+\frac45i\right|=\sqrt{\left(\frac35\right)^2+\left(\frac45\right)^2}=1.
\]
Επομένως, αν \(x\) είναι ένα σημείο στο επίπεδο, τότε \(x\) και \(x+u\) απέχουν ακριβώς \(1\) . Συγκεκριμένα, για παράδειγμα, τα σημεία βρίσκονται στο...
\[
0
\quad\text{und}\quad
\frac35+\frac45i
\]
ακριβώς μία μονάδα μακριά. Μια αριθμητική θεωρητική έκφραση αποδίδει έτσι μια γεωμετρική κατεύθυνση μήκους \(1\) . Αυτή δεν είναι ακόμη η μεγάλη ανταπόδειξη, αλλά είναι η μικρή εκδοχή του κόλπου: κανείς δεν αναζητά μόνο οριζόντιες και κάθετες μοναδιαίες αποστάσεις όπως στο πλέγμα, αλλά και πολλές αριθμητικά παραγόμενες κατευθύνσεις, οι οποίες έχουν όλες ακριβώς μήκος \(1\) .
Η πραγματική κατασκευή χρησιμοποιεί σημαντικά πιο ισχυρά εργαλεία. Αντί να εργάζεται μόνο με τους Γκαουσιανούς ακέραιους \(\mathbb{Z}[i]\) , η απόδειξη χρησιμοποιεί πιο περίπλοκα αλγεβρικά πεδία αριθμών \(K=L(i)\) . Εκεί, πολλά στοιχεία της μορφής
\[
u=\frac{\alpha}{c(\alpha)}
\]
κατασκευασμένο, όπου \(c\) παίζει τον ρόλο της σύνθετης σύζευξης. Το κρίσιμο αποτέλεσμα είναι: μεταξύ των σχετικών σύνθετων ενσωματώσεων, αυτές οι \(u\) έχουν η καθεμία μέγεθος \(1\) . Επομένως, είναι υποψήφιες για πολλές διαφορετικές κατευθύνσεις μονάδας.
Σε πολύ γενικές γραμμές, ένα πραγματικό αντιπαράδειγμα δεν μοιάζει με μια μικρή, όμορφη εικόνα με δέκα κουκκίδες, αλλά μάλλον με ένα τεράστιο, αριθμητικά κατασκευασμένο σμήνος από κουκκίδες. Παίρνετε ένα πλέγμα υψηλών διαστάσεων, κόβετε κατάλληλα σημεία από αυτό και στη συνέχεια τα προβάλλετε πίσω στο συνηθισμένο επίπεδο. Στη σημειογραφία απόδειξης, αυτό εκφράζεται περίπου με τη μορφή...
\[
P_j=\pi_1\big((y+\Lambda_j)\cap W\big),
\]
Με άλλα λόγια: Παίρνουμε σημεία από ένα μετατοπισμένο πλέγμα \(y+\Lambda_j\) , τα περιορίζουμε κατά μια περιοχή \(W\) και τα προβάλλουμε με \(\pi_1\) σε μια μιγαδική συντεταγμένη, δηλαδή, στο \(\mathbb{C}\cong\mathbb{R}^2\) . Πολλές διαφορές μεταξύ αυτών των σημείων είναι τότε ακριβώς τέτοια \(u\) στοιχεία με μέγεθος \(1\) . Επομένως, μετά την προβολή, γίνονται πραγματικές μοναδιαίες αποστάσεις στο επίπεδο.
Μια οπτική αναλογία είναι η εξής: Το τυπικό πλέγμα χρησιμοποιεί μερικές απλές κατευθύνσεις, όπως δεξιά, αριστερά, πάνω και κάτω. Η νέα κατασκευή, ωστόσο, παράγει έναν τεράστιο αριθμό κρυφών κατευθύνσεων που προέρχονται από την αλγεβρική θεωρία αριθμών. Κάθε κατεύθυνση έχει μήκος ακριβώς μία μονάδα. Επειδή υπάρχουν τόσες πολλές τέτοιες κατευθύνσεις και πολλά σημεία αντιστοιχούν σε αυτές, οι συνολικές αποστάσεις ανά μονάδα είναι μεγαλύτερες από ό,τι θα επέτρεπε η παλιά εικασία.
Αξίζει επίσης να σημειωθεί από πού προέρχεται η απόδειξη. Σύμφωνα με το OpenAI, η λύση βρέθηκε αυτόνομα από ένα γενικό μοντέλο συλλογισμού και όχι από ένα μαθηματικό σύστημα ειδικά εκπαιδευμένο για αυτό το πρόβλημα. Η απόδειξη στη συνέχεια εξετάστηκε εσωτερικά και εξωτερικά και μετατράπηκε σε μορφή αναγνώσιμη από τον άνθρωπο. Οι συνοδευτικές σημειώσεις από εξωτερικούς μαθηματικούς τονίζουν επίσης ότι δεν πρόκειται απλώς για μια αυτοματοποιημένη έκδοση μιας γνωστής μεθόδου, αλλά για μια απροσδόκητη σύνδεση μεταξύ διακριτής γεωμετρίας και αλγεβρικής θεωρίας αριθμών.
Αυτός είναι πιθανώς ο πραγματικός λόγος για τον οποίο αυτό το αποτέλεσμα είναι τόσο ενδιαφέρον. Δεν πρόκειται απλώς για μια τεχνητή νοημοσύνη που λύνει σωστά ένα πρόβλημα. Πρόκειται για την εύρεση ενός τρόπου που δεν ήταν προφανής σε πολλούς ανθρώπους: την αντιμετώπιση ενός γεωμετρικού προβλήματος σχετικά με τις αποστάσεις σε ένα επίπεδο με εργαλεία βαθιάς ανάλυσης από τη θεωρία αριθμών. Αυτό δεν κάνει τα μαθηματικά λιγότερο ανθρώπινα. Αλλά τους δίνει έναν νέο, μάλλον άβολα ισχυρό αντίπαλο.