Nomer spiral05
19

Sajrone sawetara dina kepungkur, aku wis nliti pitakon ing StackExchange ing ngisor iki babagan spiral bilangan bulat. Kita nggoleki formula tertutup kanggo koordinat elemen \(n\) -th ing spiral bilangan bulat ing ngisor iki, sing wiwit saka asale metu lan luwih lanjut nganti tanpa wates:

..  9 10 11 12
23  8  1  2 13
22  7  0  3 14
21  6  5  4 15
20 19 18 17 16

---

Pisanan kita dibagi nomer alami dadi klompok ing ngisor iki:

$$G_1 = \{ 1,...,8 \}\\G_2 = \{ 9, ..., 24 \}\\G_3 = \{ 25, ... 48 \}\\...\\G_k = \left\{ (2k-1)^2, (2k+1)^2 - 1 \right\}$$

Kita nelpon

$$a^2 = \left(\left \lfloor \left( \frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1}{2} \right) \right \rfloor \cdot 2 - 1 \right)^2$$

nomer wiwitan ing sawijining klompok.

Ing klompok ana papat subkelompok kanthi ukuran sing padha \(G_1\) kanggo \(G_1\) \(g_1 = \{ 1,2 \}, g_2 = \{ 3,4 \}, g_3 = \{ 5,6 \}, g_4 = \{7,8\}\) ). Yen \(n\) saka siji subkelompok menyang sabanjure, arah ing jalur spiral (jarum jam ing conto kita) uga bakal diganti bebarengan. Kita entuk arah saiki \( b \in \{0,1,2,3\} \) kanthi misahake posisi \(na^2\) ing grup kanthi jumlah elemen ing subkelompok:

$$b = \left \lfloor \frac{ n - a^2 }{ \text{abs}\left( a \right) + 1 } \right \rfloor$$

Saiki kita bisa nemtokake elemen pisanan ing subkelompok \(g_n\) kanthi nambahake pirang-pirang \(b\) saka nomer \(a+1\) elemen ing klompok menyang nomer awal \(a^2\):

$$c = a^2 + b \cdot (a+1)$$

Saiki kita bisa nemtokake kanthi pengamatan sing gampang:

$$x_{right} = \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{right} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{bottom} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{bottom} = (-1) \cdot \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right) \\ x_{left} = (-1) \cdot \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{left} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{top} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{top} = \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right)$$

Kita pengin makili \(f(n)\) ing perwakilan tertutup lan uga tanpa mbedakake kasus. Kita nggunakake fungsi Signum, aku wis nerangake prosedur ing kene . Supaya kita entuk formula murni minangka fungsi \(n\) , kita entuk:

Kanthi pitulung saka SVG.js , kita bisa ndeleng ing visualisasi cilik iki, yen kabeh bisa bener:

See the Pen ulam spiral by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.

Spiral iki uga dikenal minangka spiral Ulam lan nduweni gandhengane karo nomer prima.