خلال الأيام القليلة الماضية ، كنت أدرس السؤال التالي على StackExchange حول دوامة الأعداد الصحيحة. نحن نبحث عن صيغة مغلقة لإحداثيات العنصر \(n\) -th في العدد الصحيح اللولبي التالي ، والذي يمتد من الأصل إلى الخارج ثم إلى ما لا نهاية:
.. 9 10 11 12
23 8 1 2 13
22 7 0 3 14
21 6 5 4 15
20 19 18 17 16أولاً نقسم الأعداد الطبيعية إلى المجموعات التالية:
$$G_1 = \{ 1,...,8 \}\\G_2 = \{ 9, ..., 24 \}\\G_3 = \{ 25, ... 48 \}\\...\\G_k = \left\{ (2k-1)^2, (2k+1)^2 - 1 \right\}$$
نحن نتصل
$$a^2 = \left(\left \lfloor \left( \frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1}{2} \right) \right \rfloor \cdot 2 - 1 \right)^2$$
رقم البداية في المجموعة.
توجد داخل المجموعة أربع مجموعات فرعية متساوية الحجم \(G_1\) لـ \(G_1\) هو \(g_1 = \{ 1,2 \}, g_2 = \{ 3,4 \}, g_3 = \{ 5,6 \}, g_4 = \{7,8\}\) ). إذا \(n\) من مجموعة فرعية إلى أخرى ، فإن الاتجاه على مسار اللولب (في اتجاه عقارب الساعة في مثالنا) يتغير أيضًا في نفس الوقت. نحصل على الاتجاه الحالي \( b \in \{0,1,2,3\} \) بقسمة الموضع \(na^2\) داخل مجموعة على عدد العناصر في مجموعة فرعية:
$$b = \left \lfloor \frac{ n - a^2 }{ \text{abs}\left( a \right) + 1 } \right \rfloor$$
يمكننا الآن تحديد العنصر الأول داخل مجموعة فرعية \(g_n\) عن طريق إضافة مضاعف \(b\) من العدد \(a+1\) من العناصر داخل المجموعة إلى الرقم الأولي \(a^2\):
$$c = a^2 + b \cdot (a+1)$$
الآن يمكننا التحديد بملاحظة بسيطة:
$$x_{right} = \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{right} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{bottom} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{bottom} = (-1) \cdot \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right) \\ x_{left} = (-1) \cdot \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{left} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{top} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{top} = \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right)$$
نريد تمثيل \(f(n)\) في تمثيل مغلق وأيضًا بدون تمييز الحالة. نحن نستخدم وظيفة Signum ، لقد وصفت الإجراء هنا . حتى نحصل على صيغة نقية كدالة لـ \(n\) ، نحصل عليها:
بمساعدة SVG.js ، يمكننا أن نرى في هذا التصور الصغير أن كل شيء يعمل حقًا:
See the Pen ulam spiral by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.
يُعرف الحلزون أيضًا باسم حلزونية أولام وله علاقة مثيرة بالأعداد الأولية.