Az elmúlt napokban a következő kérdést kutattam a StackExchange-en egész számok spiráljáról. Az \(n\) -edik elem koordinátáinak zárt képletét keressük a következő egész spirálban, amely az origótól a külsőig terjed, és egyre tovább a végtelenbe:
.. 9 10 11 12
23 8 1 2 13
22 7 0 3 14
21 6 5 4 15
20 19 18 17 16Először a természetes számokat osztjuk fel a következő csoportokra:
$$G_1 = \{ 1,...,8 \}\\G_2 = \{ 9, ..., 24 \}\\G_3 = \{ 25, ... 48 \}\\...\\G_k = \left\{ (2k-1)^2, (2k+1)^2 - 1 \right\}$$
Hívjuk
$$a^2 = \left(\left \lfloor \left( \frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1}{2} \right) \right \rfloor \cdot 2 - 1 \right)^2$$
a csoport kezdő száma.
Egy csoporton belül négy azonos méretű alcsoport van \(G_1\) . \(G_1\) \(g_1 = \{ 1,2 \}, g_2 = \{ 3,4 \}, g_3 = \{ 5,6 \}, g_4 = \{7,8\}\) ). Ha a \(n\) egyik alcsoportról a másikra \(n\) , akkor a spirál útvonalának iránya (példánkban az óramutató járásával megegyező irányban) szintén megváltozik. Az aktuális irányt \( b \in \{0,1,2,3\} \) úgy kapjuk meg, hogy a csoporton belüli \(na^2\) pozíciót elosztjuk egy alcsoport elemeinek számával:
$$b = \left \lfloor \frac{ n - a^2 }{ \text{abs}\left( a \right) + 1 } \right \rfloor$$
Most meghatározhatjuk az alcsoport első elemét \(g_n\) úgy, hogy a kezdeti számhoz \(a^2\) hozzáadjuk a csoporton belüli elemek \(a+1\) számának többszörösét \(b\) .:
$$c = a^2 + b \cdot (a+1)$$
Most egyszerű megfigyeléssel határozhatjuk meg:
$$x_{right} = \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{right} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{bottom} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{bottom} = (-1) \cdot \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right) \\ x_{left} = (-1) \cdot \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{left} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{top} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{top} = \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right)$$
A \(f(n)\) ábrázolást zárt ábrázolásban és esetkülönbségek nélkül szeretnénk képviselni. A Signum függvényt használjuk, itt leírtam az eljárást. Ahhoz, hogy tiszta képletet kapjunk a \(n\) függvényében, megkapjuk:
Az SVG.js segítségével láthatjuk ebben a kis vizualizációban, hogy az egész valóban működik:
See the Pen ulam spiral by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.
A spirál Ulam spiráljának is nevezik, és izgalmas kapcsolatban áll a főszámokkal.