கடந்த சில நாட்களாக, முழு எண்ணின் சுழல் பற்றி ஸ்டேக் எக்ஸ்சேஞ்சில் பின்வரும் கேள்வியை ஆராய்ச்சி செய்து வருகிறேன். பின்வரும் முழு எண் சுழலில் \(n\) ஆயக்கட்டுகளுக்கான மூடிய சூத்திரத்தை நாங்கள் தேடுகிறோம், இது தோற்றத்திலிருந்து வெளிப்புறமாகவும் மேலும் மேலும் முடிவிலியாகவும் விரிவடைகிறது:
.. 9 10 11 12
23 8 1 2 13
22 7 0 3 14
21 6 5 4 15
20 19 18 17 16முதலில் நாம் இயற்கை எண்களை பின்வரும் குழுக்களாகப் பிரிக்கிறோம்:
$$G_1 = \{ 1,...,8 \}\\G_2 = \{ 9, ..., 24 \}\\G_3 = \{ 25, ... 48 \}\\...\\G_k = \left\{ (2k-1)^2, (2k+1)^2 - 1 \right\}$$
நாங்கள் அழைக்கிறோம்
$$a^2 = \left(\left \lfloor \left( \frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1}{2} \right) \right \rfloor \cdot 2 - 1 \right)^2$$
ஒரு குழுவில் தொடக்க எண்.
ஒரு குழுவிற்குள் சம அளவு நான்கு துணைக்குழுக்கள் உள்ளன \(G_1\) for க்கு \(G_1\) \(g_1 = \{ 1,2 \}, g_2 = \{ 3,4 \}, g_3 = \{ 5,6 \}, g_4 = \{7,8\}\) )). \(n\) ஒரு துணைக்குழுவிலிருந்து அடுத்ததுக்கு மாறினால், சுழல் பாதையின் திசையும் (எங்கள் எடுத்துக்காட்டில் கடிகார திசையில்) ஒரே நேரத்தில் மாற்றப்படும். ஒரு குழுவிற்குள் \(na^2\) என்ற நிலையை ஒரு துணைக்குழுவில் உள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கையால் வகுப்பதன் மூலம் தற்போதைய திசையை \( b \in \{0,1,2,3\} \) பெறுகிறோம்:
$$b = \left \lfloor \frac{ n - a^2 }{ \text{abs}\left( a \right) + 1 } \right \rfloor$$
ஒரு குழுவிற்குள் உள்ள உறுப்புகள் \(a+1\) எண்ணின் பல \(b\) \(a+1\) ஆரம்ப எண்ணுக்கு \(a^2\) சேர்ப்பதன் மூலம் ஒரு துணைக்குழு \(g_n\) க்குள் முதல் உறுப்பை இப்போது தீர்மானிக்க முடியும்.:
$$c = a^2 + b \cdot (a+1)$$
இப்போது நாம் எளிய கவனிப்பால் தீர்மானிக்க முடியும்:
$$x_{right} = \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{right} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{bottom} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{bottom} = (-1) \cdot \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right) \\ x_{left} = (-1) \cdot \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{left} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{top} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{top} = \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right)$$
மூடிய பிரதிநிதித்துவத்தில் case \(f(n)\) ஐ பிரதிநிதித்துவப்படுத்த விரும்புகிறோம், மேலும் வழக்கு வேறுபாடுகள் இல்லாமல். நாங்கள் சிக்னம் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்துகிறோம், நான் இங்கே நடைமுறையை விவரித்தேன். எனவே \(n\) இன் செயல்பாடாக ஒரு தூய சூத்திரத்தைப் பெறுகிறோம்:
SVG.js உதவியுடன், இந்த சிறிய காட்சிப்படுத்தலில் முழு விஷயமும் உண்மையில் செயல்படுவதைக் காணலாம்:
See the Pen ulam spiral by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.
சுழல் உலாமின் சுழல் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் பிரதான எண்களுடன் ஒரு அற்புதமான உறவைக் கொண்டுள்ளது.