पिछले कुछ दिनों से, मैं पूर्णांक के सर्पिल के बारे में StackExchange पर निम्नलिखित प्रश्न पर शोध कर रहा हूँ। हम निम्नलिखित पूर्णांक सर्पिल में \(n\) तत्व के निर्देशन के लिए एक बंद सूत्र की तलाश कर रहे हैं, जो मूल से बाहर और आगे और आगे अनंत में फैलता है:
.. 9 10 11 12
23 8 1 2 13
22 7 0 3 14
21 6 5 4 15
20 19 18 17 16पहले हम प्राकृतिक संख्याओं को निम्नलिखित समूहों में विभाजित करते हैं:
$$G_1 = \{ 1,...,8 \}\\G_2 = \{ 9, ..., 24 \}\\G_3 = \{ 25, ... 48 \}\\...\\G_k = \left\{ (2k-1)^2, (2k+1)^2 - 1 \right\}$$
हम फोन करते हैं
$$a^2 = \left(\left \lfloor \left( \frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1}{2} \right) \right \rfloor \cdot 2 - 1 \right)^2$$
एक समूह में प्रारंभिक संख्या।
एक समूह के भीतर एक ही आकार के चार उपसमूह हैं \(G_1\) कि \(G_1\) is \(g_1 = \{ 1,2 \}, g_2 = \{ 3,4 \}, g_3 = \{ 5,6 \}, g_4 = \{7,8\}\) )। यदि एक उपसमूह से दूसरे में \(n\) है, तो उसी समय सर्पिल (हमारे उदाहरण में दक्षिणावर्त) के मार्ग पर दिशा भी बदल जाती है। हम एक उपसमूह में तत्वों की संख्या से एक समूह के भीतर स्थिति \(na^2\) को विभाजित करके वर्तमान दिशा \( b \in \{0,1,2,3\} \) प्राप्त करते हैं।:
$$b = \left \lfloor \frac{ n - a^2 }{ \text{abs}\left( a \right) + 1 } \right \rfloor$$
अब हम एक समूह के भीतर प्रारंभिक संख्या \(a^2\) समूह के तत्वों की संख्या \(a+1\) के कई \(b\) जोड़कर एक उपसमूह \(g_n\) भीतर पहला तत्व निर्धारित कर सकते हैं।:
$$c = a^2 + b \cdot (a+1)$$
अब हम साधारण अवलोकन द्वारा निर्धारित कर सकते हैं:
$$x_{right} = \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{right} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{bottom} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{bottom} = (-1) \cdot \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right) \\ x_{left} = (-1) \cdot \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{left} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{top} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{top} = \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right)$$
हम प्रतिनिधित्व करना चाहते हैं \(f(n)\) मामले भेद के बिना एक बंद प्रतिनिधित्व में और भी। हम साइनम फ़ंक्शन का उपयोग करते हैं, मैंने यहां प्रक्रिया का वर्णन किया है । ताकि हम \(n\) कार्य के रूप में एक शुद्ध सूत्र प्राप्त कर सकें:
एसवीजी.जेएस की मदद से, हम इस छोटे से दृश्य में देख सकते हैं कि पूरी चीज वास्तव में काम करती है:
See the Pen ulam spiral by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.
सर्पिल को उलम के सर्पिल के रूप में भी जाना जाता है और इसका अभाज्य संख्याओं से रोमांचक संबंध है।