En spiral av siffror05
19

Under de senaste dagarna har jag studerat följande fråga på StackExchange om en spiral av heltal. Vi letar efter en sluten formel för koordinaterna för \(n\) -th-elementet i följande heltalsspiral, som expanderar från ursprunget utåt och vidare och vidare till oändligheten:

..  9 10 11 12
23  8  1  2 13
22  7  0  3 14
21  6  5  4 15
20 19 18 17 16

---

Först delar vi upp de naturliga siffrorna i följande grupper:

$$G_1 = \{ 1,...,8 \}\\G_2 = \{ 9, ..., 24 \}\\G_3 = \{ 25, ... 48 \}\\...\\G_k = \left\{ (2k-1)^2, (2k+1)^2 - 1 \right\}$$

Vi ringer

$$a^2 = \left(\left \lfloor \left( \frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1}{2} \right) \right \rfloor \cdot 2 - 1 \right)^2$$

startnumret i en grupp.

Inom en grupp finns fyra undergrupper av samma storlek \(G_1\) för \(G_1\) \(g_1 = \{ 1,2 \}, g_2 = \{ 3,4 \}, g_3 = \{ 5,6 \}, g_4 = \{7,8\}\) ). Om \(n\) från en undergrupp till en annan, \(n\) riktningen på spiralbanan (medurs i vårt exempel) samtidigt. Vi får den aktuella riktningen \( b \in \{0,1,2,3\} \) genom att dela positionen \(na^2\) inom en grupp med antalet element i en undergrupp:

$$b = \left \lfloor \frac{ n - a^2 }{ \text{abs}\left( a \right) + 1 } \right \rfloor$$

Nu kan vi bestämma det första elementet i en undergrupp \(g_n\) genom att lägga till en multipel \(b\) av antalet \(a+1\) av element i en grupp till det initiala numret \(a^2\):

$$c = a^2 + b \cdot (a+1)$$

Nu kan vi bestämma med enkel observation:

$$x_{right} = \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{right} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{bottom} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{bottom} = (-1) \cdot \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right) \\ x_{left} = (-1) \cdot \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{left} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{top} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{top} = \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right)$$

Vi vill representera \(f(n)\) i en sluten representation och även utan fallskillnader. Vi använder Signum-funktionen, jag har beskrivit proceduren här . Så att vi får en ren formel som en funktion av \(n\) får vi:

Med hjälp av SVG.js kan vi se i den här lilla visualiseringen att det hela fungerar:

See the Pen ulam spiral by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.

Spiralen är också känd som Ulams spiral och har en spännande relation till primtal.