Przez ostatnie kilka dni studiowałem następujące pytanie na StackExchange dotyczące spirali liczb całkowitych. Szukamy zamkniętego wzoru na współrzędne \(n\) -tego elementu w następującej spirali liczb całkowitych, która rozciąga się od początku na zewnątrz i dalej i dalej w nieskończoność:
.. 9 10 11 12
23 8 1 2 13
22 7 0 3 14
21 6 5 4 15
20 19 18 17 16Najpierw dzielimy liczby naturalne na następujące grupy:
$$G_1 = \{ 1,...,8 \}\\G_2 = \{ 9, ..., 24 \}\\G_3 = \{ 25, ... 48 \}\\...\\G_k = \left\{ (2k-1)^2, (2k+1)^2 - 1 \right\}$$
Nazywamy
$$a^2 = \left(\left \lfloor \left( \frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1}{2} \right) \right \rfloor \cdot 2 - 1 \right)^2$$
numer początkowy w grupie.
W grupie są cztery podgrupy o jednakowej wielkości \(G_1\) Dla \(G_1\) jest to \(g_1 = \{ 1,2 \}, g_2 = \{ 3,4 \}, g_3 = \{ 5,6 \}, g_4 = \{7,8\}\) ). Jeśli \(n\) z jednej podgrupy do drugiej, jednocześnie \(n\) się kierunek na ścieżce spirali (w naszym przykładzie zgodnie z ruchem wskazówek zegara). Bieżący kierunek \( b \in \{0,1,2,3\} \) otrzymujemy dzieląc pozycję \(na^2\) w grupie przez liczbę elementów w podgrupie:
$$b = \left \lfloor \frac{ n - a^2 }{ \text{abs}\left( a \right) + 1 } \right \rfloor$$
Teraz możemy określić pierwszy element w podgrupie \(g_n\) , dodając wielokrotność \(b\) liczby \(a+1\) elementów w grupie do liczby początkowej \(a^2\):
$$c = a^2 + b \cdot (a+1)$$
Teraz możemy określić na podstawie prostej obserwacji:
$$x_{right} = \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{right} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{bottom} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{bottom} = (-1) \cdot \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right) \\ x_{left} = (-1) \cdot \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{left} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{top} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{top} = \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right)$$
Chcemy przedstawić \(f(n)\) w zamkniętej reprezentacji, a także bez rozróżnienia wielkości liter. Korzystamy z funkcji Signum, tutaj opisałem procedurę. Aby otrzymać czysty wzór jako funkcję \(n\) , otrzymujemy:
Z pomocą SVG.js możemy zobaczyć na tej małej wizualizacji, że całość naprawdę działa:
See the Pen ulam spiral by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.
Spirala jest również znana jako spirala Ulama i ma ekscytujący związek z liczbami pierwszymi.