Протягом останніх кількох днів я вивчав на StackExchange наступне питання про спіраль цілих чисел. Ми шукаємо замкнуту формулу для координат \(n\) -го елемента в наступній цілочисельній спіралі, яка простягається від початку до зовнішньої сторони і далі, і далі в нескінченність:
.. 9 10 11 12
23 8 1 2 13
22 7 0 3 14
21 6 5 4 15
20 19 18 17 16Спочатку ділимо натуральні числа на такі групи:
$$G_1 = \{ 1,...,8 \}\\G_2 = \{ 9, ..., 24 \}\\G_3 = \{ 25, ... 48 \}\\...\\G_k = \left\{ (2k-1)^2, (2k+1)^2 - 1 \right\}$$
Ми називаємо
$$a^2 = \left(\left \lfloor \left( \frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1}{2} \right) \right \rfloor \cdot 2 - 1 \right)^2$$
стартовий номер у групі.
У межах групи є чотири підгрупи однакового розміру \(G_1\) для \(G_1\) \(g_1 = \{ 1,2 \}, g_2 = \{ 3,4 \}, g_3 = \{ 5,6 \}, g_4 = \{7,8\}\) ). Якщо \(n\) від однієї підгрупи до наступної, одночасно змінюється і напрямок на шляху спіралі (у нашому прикладі за годинниковою стрілкою). Ми отримуємо поточний напрямок \( b \in \{0,1,2,3\} \) , розділивши позицію \(na^2\) всередині групи на кількість елементів у підгрупі.:
$$b = \left \lfloor \frac{ n - a^2 }{ \text{abs}\left( a \right) + 1 } \right \rfloor$$
Тепер ми можемо визначити перший елемент у підгрупі \(g_n\) , додавши множину \(b\) числа \(a+1\) елементів всередині групи до початкового числа \(a^2\):
$$c = a^2 + b \cdot (a+1)$$
Тепер ми можемо визначити за допомогою простого спостереження:
$$x_{right} = \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{right} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{bottom} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{bottom} = (-1) \cdot \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right) \\ x_{left} = (-1) \cdot \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{left} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{top} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{top} = \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right)$$
Ми хочемо представити \(f(n)\) у закритому поданні, а також без відмінків між регістрами. Ми використовуємо функцію Signum, я описав тут процедуру. Таким чином, ми отримуємо чисту формулу як функцію \(n\) , отримуємо:
За допомогою SVG.js ми бачимо в цій невеликій візуалізації, що все це справді працює:
See the Pen ulam spiral by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.
Спіраль також відома як спіраль Улама і має захоплююче відношення до простих чисел.