Сандардын спиралы05
19

Акыркы бир нече күндөн бери SpackExchange бүтүн сандар жөнүндө төмөнкү суроону изилдеп жатам. \(n\) -чү элементтин координаттары үчүн төмөнкү бүтүн спиралда башталгычтан сыртка, андан ары жана андан ары чексиздикке чейин кеңейе турган жабык формуланы издеп жатабыз.:

..  9 10 11 12
23  8  1  2 13
22  7  0  3 14
21  6  5  4 15
20 19 18 17 16

---

Алгач натуралдык сандарды төмөнкү топторго бөлөбүз:

$$G_1 = \{ 1,...,8 \}\\G_2 = \{ 9, ..., 24 \}\\G_3 = \{ 25, ... 48 \}\\...\\G_k = \left\{ (2k-1)^2, (2k+1)^2 - 1 \right\}$$

Биз чалып жатабыз

$$a^2 = \left(\left \lfloor \left( \frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1}{2} \right) \right \rfloor \cdot 2 - 1 \right)^2$$

топтогу баштапкы номер.

Топтун ичинде бирдей өлчөмдөгү төрт чакан топ бар \(G_1\) , \(G_1\) \(g_1 = \{ 1,2 \}, g_2 = \{ 3,4 \}, g_3 = \{ 5,6 \}, g_4 = \{7,8\}\) ). Эгерде \(n\) бир кичи топтон экинчисине \(n\) , анда спиральдын өтүүчү багыты (биздин мисалда саат жебеси боюнча) да бир убакта өзгөрүлөт. \( b \in \{0,1,2,3\} \) тобун \(na^2\) абалын топчодогу элементтердин санына бөлүү менен учурдагы багытын алабыз.:

$$b = \left \lfloor \frac{ n - a^2 }{ \text{abs}\left( a \right) + 1 } \right \rfloor$$

Эми биз топтун ичиндеги элементтердин \(a+1\) санынын \(a+1\) \(b\) баштапкы санына \(a^2\) кошуу менен \(g_n\) кичи \(g_n\) биринчи элементти аныктай алабыз.:

$$c = a^2 + b \cdot (a+1)$$

Эми биз жөнөкөй байкоо жүргүзүү менен аныктай алабыз:

$$x_{right} = \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{right} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{bottom} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{bottom} = (-1) \cdot \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right) \\ x_{left} = (-1) \cdot \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{left} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{top} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{top} = \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right)$$

Биз \(f(n)\) жабык көрсөтмөдө, ошондой эле регистрди айырмалабай көрсөтүүнү каалайбыз. Биз Signum функциясын колдонобуз, мен бул жерде процедураны баяндадым . Ошентип, \(n\) функциясы катары таза формуланы алабыз:

SVG.js жардамы менен, биз бул кичинекей визуалдаштырууда чындыгында бардыгы иштээрин көрө алабыз:

See the Pen ulam spiral by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.

Спираль Уламдын спиралы деп да белгилүү жана жөнөкөй сандарга кызыктуу байланышы бар.