កាលពីប៉ុន្មានថ្ងៃមុនខ្ញុំបាន សិក្សា សំណួរខាងក្រោមអំពី StackExchange អំពីវង់នៃចំនួនគត់។ យើងកំពុងស្វែងរករូបមន្តបិទសម្រាប់កូអរដោនេនៃធាតុ \(n\) - ទីក្នុងវង់ចំនួនគត់ខាងក្រោមដែលលាតសន្ធឹងពីប្រភពដើមទៅខាងក្រៅនិងឆ្ងាយនិងបន្តទៅជានិរន្ដរភាព។:
.. 9 10 11 12
23 8 1 2 13
22 7 0 3 14
21 6 5 4 15
20 19 18 17 16ដំបូងយើងបែងចែកលេខធម្មជាតិទៅជាក្រុមខាងក្រោម:
$$G_1 = \{ 1,...,8 \}\\G_2 = \{ 9, ..., 24 \}\\G_3 = \{ 25, ... 48 \}\\...\\G_k = \left\{ (2k-1)^2, (2k+1)^2 - 1 \right\}$$
យើងហៅ
$$a^2 = \left(\left \lfloor \left( \frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1}{2} \right) \right \rfloor \cdot 2 - 1 \right)^2$$
លេខចាប់ផ្តើមនៅក្នុងក្រុម។
ក្នុងក្រុមមានបួនក្រុមតូចៗដែលមានទំហំដូចគ្នា \(G_1\) សម្រាប់ \(G_1\) ជា \(g_1 = \{ 1,2 \}, g_2 = \{ 3,4 \}, g_3 = \{ 5,6 \}, g_4 = \{7,8\}\) ) ។ ប្រសិនបើ \(n\) ពីក្រុមរងមួយទៅក្រុមមួយទៀតទិសដៅនៅលើផ្លូវវង់ (តាមទ្រនិចនាឡិកាក្នុងឧទាហរណ៍របស់យើង) ក៏ត្រូវបានផ្លាស់ប្តូរក្នុងពេលតែមួយដែរ។ យើងទទួលបានទិសដៅបច្ចុប្បន្ន \( b \in \{0,1,2,3\} \) ដោយបែងចែកទីតាំង \(na^2\) ក្នុងក្រុមដោយចំនួនធាតុក្នុងក្រុមរង:
$$b = \left \lfloor \frac{ n - a^2 }{ \text{abs}\left( a \right) + 1 } \right \rfloor$$
ឥឡូវយើងអាចកំនត់ធាតុទីមួយនៅក្នុងក្រុមរង \(g_n\) ដោយបន្ថែមចំនួន \(b\) នៃចំនួន \(a+1\) នៃធាតុនៅក្នុងក្រុមទៅលេខដំបូង \(a^2\):
$$c = a^2 + b \cdot (a+1)$$
ឥឡូវនេះយើងអាចកំណត់ដោយការសង្កេតសាមញ្ញ:
$$x_{right} = \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{right} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{bottom} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{bottom} = (-1) \cdot \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right) \\ x_{left} = (-1) \cdot \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{left} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{top} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{top} = \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right)$$
យើងចង់តំណាងឱ្យ \(f(n)\) ជាតំណាងបិទហើយក៏មិនមានករណីប្លែកៗដែរ។ យើងប្រើមុខងារ Signum ខ្ញុំ បាន ពិពណ៌នានីតិវិធី នៅទីនេះ ។ ដូច្នេះយើងទទួលបានរូបមន្តសុទ្ធជាមុខងាររបស់ \(n\) យើងទទួលបាន:
ដោយមានជំនួយពី SVG.js យើងអាចមើលឃើញនៅក្នុងការមើលឃើញតូចមួយដែលរឿងទាំងមូលពិតជាដំណើរការ:
See the Pen ulam spiral by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.
វង់នេះត្រូវបានគេស្គាល់ថា វង់របស់អ៊ូឡាំ និងមានទំនាក់ទំនងគួរឱ្យរំភើបចំពោះលេខបឋម។