Թվերի պարույր05
19

Վերջին մի քանի օրվա ընթացքում ես ուսումնասիրում էի StackExchange- ի հետևյալ հարցը ՝ ամբողջ թվերի պարուրաձեւի վերաբերյալ: Մենք փնտրում ենք փակ բանաձև ` \(n\) -th տարրի կոորդինատների հետևյալ ամբողջ պարուրաձևում, որն ընդլայնվում է սկզբնաղբյուրից դեպի դուրս և հետագայում և հետագայում դեպի անսահմանություն:

..  9 10 11 12
23  8  1  2 13
22  7  0  3 14
21  6  5  4 15
20 19 18 17 16

---

Նախ բնական թվերը բաժանում ենք հետևյալ խմբերի:

$$G_1 = \{ 1,...,8 \}\\G_2 = \{ 9, ..., 24 \}\\G_3 = \{ 25, ... 48 \}\\...\\G_k = \left\{ (2k-1)^2, (2k+1)^2 - 1 \right\}$$

Մենք զանգում ենք

$$a^2 = \left(\left \lfloor \left( \frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1}{2} \right) \right \rfloor \cdot 2 - 1 \right)^2$$

խմբի մեկնարկային համարը:

Խմբի մեջ կան հավասար չափի չորս ենթախմբեր \(G_1\) ՝ \(G_1\) \(g_1 = \{ 1,2 \}, g_2 = \{ 3,4 \}, g_3 = \{ 5,6 \}, g_4 = \{7,8\}\) ): Եթե \(n\) է մի ենթախմբից մյուսը, միևնույն ժամանակ փոխվում է պարույրի ուղու ուղղությամբ (մեր օրինակի ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ): Մենք ստանում ներկայիս ուղղությունը \( b \in \{0,1,2,3\} \) բաժանելով դիրքորոշումը \(na^2\) շրջանակներում մի խումբ կողմից թվի տարրերի մի ենթախմբի:

$$b = \left \lfloor \frac{ n - a^2 }{ \text{abs}\left( a \right) + 1 } \right \rfloor$$

Այժմ մենք կարող ենք որոշել առաջին տարրը ենթախմբի ներսում \(g_n\) ՝ ելնելով խմբում տարրերի \(a+1\) տարրերի թվի \(a+1\) \(b\) նախնական թվից \(a^2\):

$$c = a^2 + b \cdot (a+1)$$

Այժմ մենք կարող ենք պարզ դիտարկմամբ պարզել:

$$x_{right} = \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{right} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{bottom} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{bottom} = (-1) \cdot \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right) \\ x_{left} = (-1) \cdot \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{left} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{top} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{top} = \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right)$$

Մենք ուզում ենք ներկայացնել \(f(n)\) փակ ներկայացուցչությունում և նաև առանց գործի տարբերակումների: Մենք օգտագործում ենք Signum գործառույթը, ես այստեղ նկարագրել եմ ընթացակարգը: Որպեսզի ստանանք մաքուր բանաձև ՝ որպես գործառույթ \(n\) , կստանանք:

SVG.js- ի օգնությամբ մենք կարող ենք տեսնել այս փոքրիկ արտացոլման մեջ, որ ամբողջն իրականում գործում է:

See the Pen ulam spiral by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.

Պարույրը հայտնի է նաև որպես Ուլամի պարույր և հուզիչ կապ ունի պարզ թվերի հետ: