Վերջին մի քանի օրվա ընթացքում ես ուսումնասիրում էի StackExchange- ի հետևյալ հարցը ՝ ամբողջ թվերի պարուրաձեւի վերաբերյալ: Մենք փնտրում ենք փակ բանաձև ` \(n\) -th տարրի կոորդինատների հետևյալ ամբողջ պարուրաձևում, որն ընդլայնվում է սկզբնաղբյուրից դեպի դուրս և հետագայում և հետագայում դեպի անսահմանություն:
.. 9 10 11 12
23 8 1 2 13
22 7 0 3 14
21 6 5 4 15
20 19 18 17 16
Նախ բնական թվերը բաժանում ենք հետևյալ խմբերի:
$$G_1 = \{ 1,...,8 \}\\G_2 = \{ 9, ..., 24 \}\\G_3 = \{ 25, ... 48 \}\\...\\G_k = \left\{ (2k-1)^2, (2k+1)^2 - 1 \right\}$$
Մենք զանգում ենք
$$a^2 = \left(\left \lfloor \left( \frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1}{2} \right) \right \rfloor \cdot 2 - 1 \right)^2$$
խմբի մեկնարկային համարը:
Խմբի մեջ կան հավասար չափի չորս ենթախմբեր \(G_1\) ՝ \(G_1\) \(g_1 = \{ 1,2 \}, g_2 = \{ 3,4 \}, g_3 = \{ 5,6 \}, g_4 = \{7,8\}\) ): Եթե \(n\) է մի ենթախմբից մյուսը, միևնույն ժամանակ փոխվում է պարույրի ուղու ուղղությամբ (մեր օրինակի ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ): Մենք ստանում ներկայիս ուղղությունը \( b \in \{0,1,2,3\} \) բաժանելով դիրքորոշումը \(na^2\) շրջանակներում մի խումբ կողմից թվի տարրերի մի ենթախմբի:
$$b = \left \lfloor \frac{ n - a^2 }{ \text{abs}\left( a \right) + 1 } \right \rfloor$$
Այժմ մենք կարող ենք որոշել առաջին տարրը ենթախմբի ներսում \(g_n\) ՝ ելնելով խմբում տարրերի \(a+1\) տարրերի թվի \(a+1\) \(b\) նախնական թվից \(a^2\):
$$c = a^2 + b \cdot (a+1)$$
Այժմ մենք կարող ենք պարզ դիտարկմամբ պարզել:
$$x_{right} = \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{right} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{bottom} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{bottom} = (-1) \cdot \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right) \\ x_{left} = (-1) \cdot \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{left} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{top} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{top} = \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right)$$
Մենք ուզում ենք ներկայացնել \(f(n)\) փակ ներկայացուցչությունում և նաև առանց գործի տարբերակումների: Մենք օգտագործում ենք Signum գործառույթը, ես այստեղ նկարագրել եմ ընթացակարգը: Որպեսզի ստանանք մաքուր բանաձև ՝ որպես գործառույթ \(n\) , կստանանք:
SVG.js- ի օգնությամբ մենք կարող ենք տեսնել այս փոքրիկ արտացոլման մեջ, որ ամբողջն իրականում գործում է:
See the Pen ulam spiral by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.
Պարույրը հայտնի է նաև որպես Ուլամի պարույր և հուզիչ կապ ունի պարզ թվերի հետ: