গত কয়েক দিন ধরে, আমি স্ট্যাকএক্সচেঞ্জে পূর্ণসংখ্যার একটি সর্পিল সম্পর্কে নিম্নলিখিত প্রশ্নটি গবেষণা করছি। আমরা নিম্নলিখিত \(n\) সর্পিল the \(n\) -th উপাদানটির স্থানাঙ্কের জন্য একটি বদ্ধ সূত্র খুঁজছি, যা উত্স থেকে বাহ্যিক দিকে এবং আরও এবং আরও অনন্তে প্রসারিত:
.. 9 10 11 12
23 8 1 2 13
22 7 0 3 14
21 6 5 4 15
20 19 18 17 16প্রথমে আমরা প্রাকৃতিক সংখ্যাগুলি নিম্নলিখিত গ্রুপগুলিতে ভাগ করি:
$$G_1 = \{ 1,...,8 \}\\G_2 = \{ 9, ..., 24 \}\\G_3 = \{ 25, ... 48 \}\\...\\G_k = \left\{ (2k-1)^2, (2k+1)^2 - 1 \right\}$$
আমরা কল
$$a^2 = \left(\left \lfloor \left( \frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1}{2} \right) \right \rfloor \cdot 2 - 1 \right)^2$$
একটি গ্রুপে শুরু নম্বর।
একটি গোষ্ঠীর মধ্যে সমান আকারের চারটি উপগোষ্ঠী রয়েছে \(G_1\) এটি \(g_1 = \{ 1,2 \}, g_2 = \{ 3,4 \}, g_3 = \{ 5,6 \}, g_4 = \{7,8\}\) )। যদি \(n\) একটি উপ-গোষ্ঠী থেকে পরের দিকে পরিবর্তিত হয় তবে একই সাথে সর্পিলের পথের দিক (আমাদের উদাহরণের ঘড়ির কাঁটা )ও পরিবর্তিত হয়। একটি উপগোষ্ঠীর উপাদানগুলির সংখ্যা অনুসারে একটি গ্রুপের মধ্যে অবস্থান \(na^2\) ভাগ করে আমরা বর্তমান দিক \( b \in \{0,1,2,3\} \):
$$b = \left \lfloor \frac{ n - a^2 }{ \text{abs}\left( a \right) + 1 } \right \rfloor$$
এখন আমরা একটি গ্রুপের মধ্যে মৌলিক সংখ্যার multiple \(a+1\) সংখ্যার একাধিক \(b\) প্রাথমিক সংখ্যা the \(a^2\) যোগ করে একটি উপগোষ্ঠী \(g_n\) মধ্যে প্রথম উপাদানটি নির্ধারণ করতে পারি:
$$c = a^2 + b \cdot (a+1)$$
এখন আমরা সাধারণ পর্যবেক্ষণ দ্বারা নির্ধারণ করতে পারি:
$$x_{right} = \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{right} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{bottom} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{bottom} = (-1) \cdot \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right) \\ x_{left} = (-1) \cdot \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{left} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{top} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{top} = \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right)$$
আমরা closed \(f(n)\) বদ্ধ উপস্থাপনায় এবং কেস ভেদ ছাড়াই প্রতিনিধিত্ব করতে চাই। আমরা সাইনাম ফাংশনটি ব্যবহার করি, আমি এখানে পদ্ধতিটি বর্ণনা করেছি । যাতে আমরা \(n\) ফাংশন হিসাবে একটি খাঁটি সূত্র পাই, আমরা পেয়েছি:
এসভিজি.জেএস এর সহায়তায় , আমরা এই ক্ষুদ্র ভিজ্যুয়ালাইজেশনে দেখতে পারি যে পুরো জিনিসটি সত্যই কাজ করে:
See the Pen ulam spiral by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.
সর্পিলটি উলামের সর্পিল হিসাবেও পরিচিত এবং মূল সংখ্যার সাথে একটি আকর্ষণীয় সম্পর্ক রয়েছে।