Per hos dies in quaestionem fui investigantibus StackExchange circa spiralem integri. Nos vultus parumper clausa usus coordinatae \(n\) th Integer elementum, in sequentibus spiralis, quae ab extra originem est, et porro in infinitum, et ultra:
.. 9 10 11 12
23 8 1 2 13
22 7 0 3 14
21 6 5 4 15
20 19 18 17 16Primo ut dividat numerum in his coetibus natura:
$$G_1 = \{ 1,...,8 \}\\G_2 = \{ 9, ..., 24 \}\\G_3 = \{ 25, ... 48 \}\\...\\G_k = \left\{ (2k-1)^2, (2k+1)^2 - 1 \right\}$$
Vocamus
$$a^2 = \left(\left \lfloor \left( \frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1}{2} \right) \right \rfloor \cdot 2 - 1 \right)^2$$
incipiens enim coetus in numerus.
Coetus intra subgroups de quatuor sunt aequalis magnitudinis \(G_1\) pro \(G_1\) est \(g_1 = \{ 1,2 \}, g_2 = \{ 3,4 \}, g_3 = \{ 5,6 \}, g_4 = \{7,8\}\) ). Si \(n\) una est altera group, in directum in semita ilia spiralis (clockwise in exemplum) mutatum est, et ad idem tempus. Nos adepto ad directionem vena \( b \in \{0,1,2,3\} \) et postea divideret illa situ \(na^2\) inter coetus in numerus elementa in subgroup:
$$b = \left \lfloor \frac{ n - a^2 }{ \text{abs}\left( a \right) + 1 } \right \rfloor$$
Nunc possimus determinare primum elementum in subgroup \(g_n\) by addendo ad plures \(b\) ad numerum \(a+1\) de elementis intra coetus est principium numeri \(a^2\):
$$c = a^2 + b \cdot (a+1)$$
Nunc determinare possumus ab tantum admonet:
$$x_{right} = \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{right} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{bottom} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{bottom} = (-1) \cdot \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right) \\ x_{left} = (-1) \cdot \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{left} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{top} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{top} = \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right)$$
Volumus exprimere \(f(n)\) per clausa quid repraesentant aut quibus sine causa etiam quae dicta sunt. Nos uti signum munus ego sum descripsit procedure huc . Quo fit ut indignemur accipere munus est pura forma sicut \(n\) , dabimus tibi:
Cum auxilio SVG.js , possumus videre in hoc parva visualization ut tota re aliquid operatur:
See the Pen ulam spiral by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.
Et quae sit ilia spiralis , Ulam primogenitus in spiram, et excitando relatione ad primos numeros habet.