# A numerus spiralem0519

Per hos dies in quaestionem fui investigantibus StackExchange circa spiralem integri. Nos vultus parumper clausa usus coordinatae $$n$$ th Integer elementum, in sequentibus spiralis, quae ab extra originem est, et porro in infinitum, et ultra:

..  9 10 11 12
23  8  1  2 13
22  7  0  3 14
21  6  5  4 15
20 19 18 17 16

Primo ut dividat numerum in his coetibus natura:

$$G_1 = \{ 1,...,8 \}\\G_2 = \{ 9, ..., 24 \}\\G_3 = \{ 25, ... 48 \}\\...\\G_k = \left\{ (2k-1)^2, (2k+1)^2 - 1 \right\}$$

Vocamus

$$a^2 = \left(\left \lfloor \left( \frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1}{2} \right) \right \rfloor \cdot 2 - 1 \right)^2$$

incipiens enim coetus in numerus.

Coetus intra subgroups de quatuor sunt aequalis magnitudinis $$G_1$$ pro $$G_1$$ est $$g_1 = \{ 1,2 \}, g_2 = \{ 3,4 \}, g_3 = \{ 5,6 \}, g_4 = \{7,8\}$$ ). Si $$n$$ una est altera group, in directum in semita ilia spiralis (clockwise in exemplum) mutatum est, et ad idem tempus. Nos adepto ad directionem vena $$b \in \{0,1,2,3\}$$ et postea divideret illa situ $$na^2$$ inter coetus in numerus elementa in subgroup:

$$b = \left \lfloor \frac{ n - a^2 }{ \text{abs}\left( a \right) + 1 } \right \rfloor$$

Nunc possimus determinare primum elementum in subgroup $$g_n$$ by addendo ad plures $$b$$ ad numerum $$a+1$$ de elementis intra coetus est principium numeri $$a^2$$:

$$c = a^2 + b \cdot (a+1)$$

Nunc determinare possumus ab tantum admonet:

$$x_{right} = \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{right} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{bottom} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{bottom} = (-1) \cdot \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right) \\ x_{left} = (-1) \cdot \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{left} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{top} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{top} = \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right)$$

Volumus exprimere $$f(n)$$ per clausa quid repraesentant aut quibus sine causa etiam quae dicta sunt. Nos uti signum munus ego sum descripsit procedure huc . Quo fit ut indignemur accipere munus est pura forma sicut $$n$$ , dabimus tibi:

Cum auxilio SVG.js , possumus videre in hoc parva visualization ut tota re aliquid operatur:

See the Pen ulam spiral by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.

Et quae sit ilia spiralis , Ulam primogenitus in spiram, et excitando relatione ad primos numeros habet.

Back