Спираль чисел05
19

Последние несколько дней я изучал следующий вопрос на StackExchange о спирали целых чисел. Ищем замкнутую формулу для координат \(n\) -го элемента в следующей целочисленной спирали, которая простирается от начала координат наружу и все дальше и дальше в бесконечность:

..  9 10 11 12
23  8  1  2 13
22  7  0  3 14
21  6  5  4 15
20 19 18 17 16

---

Сначала мы разделим натуральные числа на следующие группы:

$$G_1 = \{ 1,...,8 \}\\G_2 = \{ 9, ..., 24 \}\\G_3 = \{ 25, ... 48 \}\\...\\G_k = \left\{ (2k-1)^2, (2k+1)^2 - 1 \right\}$$

Мы называем

$$a^2 = \left(\left \lfloor \left( \frac{\left \lfloor \sqrt{n} \right \rfloor + 1}{2} \right) \right \rfloor \cdot 2 - 1 \right)^2$$

стартовый номер в группе.

Внутри группы есть четыре подгруппы одинакового размера \(G_1\) для \(G_1\) \(g_1 = \{ 1,2 \}, g_2 = \{ 3,4 \}, g_3 = \{ 5,6 \}, g_4 = \{7,8\}\) ). Если \(n\) от одной подгруппы к другой, направление спирали (в нашем примере по часовой стрелке) также изменяется одновременно. Мы получаем текущее направление \( b \in \{0,1,2,3\} \) , разделив позицию \(na^2\) внутри группы на количество элементов в подгруппе:

$$b = \left \lfloor \frac{ n - a^2 }{ \text{abs}\left( a \right) + 1 } \right \rfloor$$

Теперь мы можем определить первый элемент в подгруппе \(g_n\) , добавив кратное \(b\) числа \(a+1\) элементов в группе к начальному числу \(a^2\):

$$c = a^2 + b \cdot (a+1)$$

Теперь мы можем определить простым наблюдением:

$$x_{right} = \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{right} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{bottom} = \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{bottom} = (-1) \cdot \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right) \\ x_{left} = (-1) \cdot \left(n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right),\, y_{left} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right) \\ x_{top} = (-1) \cdot \left(\frac{ a + 1 }{2}\right),\, y_{top} = \left( n - c - \frac{ a + 1 }{2}+1\right)$$

Мы хотим представить \(f(n)\) в замкнутом представлении, а также без различия регистра. Мы используем функцию Signum, процедуру я описал здесь . Чтобы получить чистую формулу как функцию от \(n\) , мы получаем:

С помощью SVG.js мы можем увидеть в этой небольшой визуализации, что все действительно работает.:

See the Pen ulam spiral by David Vielhuber (@vielhuber) on CodePen.

Спираль, также известная как спираль Улама, увлекательно связана с простыми числами.