Je duke folur në telefon me një mik në SHBA në një ditë të ftohtë dimri. "Këtu është minus \(40\) gradë!" thirrni të dy njëkohësisht. Normalisht, kjo do të ishte një çështje sqarimi se kush e ka fjalën për Celsius dhe kush për Fahrenheit - por jo në këtë temperaturë të veçantë. Pse ndodh kjo? Kjo pikë është e vetmja temperaturë në të cilën shkallët Celsius dhe Fahrenheit përputhen!
\(−40\) gradë Fahrenheit janë saktësisht \(−40\) gradë Celsius. Kjo nuk është rastësi, por një pasojë e drejtpërdrejtë e marrëdhënies lineare midis dy shkallëve. Të dyja shkallët e temperaturës janë transformime afinike (lineare + zhvendosje) të së njëjtës madhësi fizike, "temperaturës". Konvertimi midis këtyre dy shkallëve është shpesh i lodhshëm. Megjithatë, ekziston një pikë interesante në të cilën të dyja shkallët kanë të njëjtën vlerë numerike.
- Shkalla Celsius (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) Pika e ngrirjes së ujit
Pika e vlimit të ujit \(100^\circ\mathrm{C}\)
Distanca midis këtyre pikave fikse: \(100\) gradë. - Shkalla e Fahrenheitit (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) Pika e ngrirjes së ujit
\(212^\circ\mathrm{F}\) Pika e vlimit të ujit
Distanca midis këtyre pikave fikse: \(212-32=180\) gradë.
Kjo përcakton raportin (pjerrësinë) midis shkallëve:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
Pika zero (offset) është gjithashtu e ndryshme: \(0^\circ\mathrm{C}\) korrespondon me \(32^\circ\mathrm{F}\) .
Për të nxjerrë formulën standarde, kërkojmë një pasqyrim afine të formës
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
ku \(a\) pjerrësia (faktori i shkallës) dhe \(b\) është zhvendosja.
Dy kushtet e mëposhtme janë të mjaftueshme sepse një pasqyrim afine përmes dy pikave përcaktohet në mënyrë unike.:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
Zëvendësimi jep formulën standarde:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
E anasjellta (nga Fahrenheit në Celsius) merret duke zgjidhur për \(T_\mathrm{C}\) :
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
Tani po kërkojmë temperaturën \(T\) në të cilën shfaqet vlera numerike identike në të dy shkallët:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
Tani futni \(T_\mathrm{F}\) në formulën standarde:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
dhe së fundmi
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
Kjo rezulton në \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
dhe kështu
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
Për vlera pozitive të Celsiusit, \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) gjithmonë një vlerë numerike më të madhe se \(T_\mathrm{C}\) (p.sh. \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). Për vlera mjaftueshëm negative të Celsiusit, \(32\) Gradët në fillim të shkallës Fahrenheit janë në fakt nën zero. Në një moment të caktuar, kjo kompenson faktorin e shkallës \(\frac{9}{5}\). Kjo pikë ekuilibri është pikërisht \(−40\): ka një ndërrim shtesë \(+32\) mjaftueshëm i madh sa të dy vlerat numerike të jenë identike. Grafikisht, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (vijë e drejtë) dhe \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (diagonale) – pika e kryqëzimit të vijave të tyre është në \((-40,-40)\).
Në të kundërt, temperaturat absolute (p.sh., për llogaritjet termodinamike) jepen në Kelvin ose Rankine, ku nuk ka zhvendosje në konvertimin e shkallës (vetëm një faktor i pastër shkalle). Për shembull, midis Celsius dhe Kelvin \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) . Ekzistenca e këtij zhvendosjeje është pikërisht arsyeja pse përshkrimi Celsius-Fahrenheit është afin dhe jo thjesht linear. Barazia \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) rrjedh drejtpërdrejt nga marrëdhënia afine midis Fahrenheit dhe Celsius.
Nëse zëvendësoni \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) me \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) dhe e zgjidhni, do të merrni qartë \(T=-40\) . Pikërisht këtu kryqëzohen dy shkallët. Kjo pikë kryqëzimi në \(-40\) është e vetmja pikë në të cilën vlerat numerike të të dy shkallëve janë identike. Kjo për shkak të natyrës lineare të konvertimit: dy vija jo-paralele kryqëzohen gjithmonë në saktësisht një pikë. Pra, herën tjetër që dikush përmend \(-40\) gradë, nuk keni pse të pyesni në mënyrë të qartë se cilën shkallë nënkuptojnë.