Anda sedang menelepon seorang teman di AS pada hari musim dingin yang sangat dingin. "Di sini minus \(40\) derajat!" seru Anda berdua bersamaan. Biasanya, ini akan menjadi masalah klarifikasi siapa yang dimaksud Celsius dan siapa yang dimaksud Fahrenheit—tetapi tidak pada suhu ini. Mengapa demikian? Titik ini adalah satu-satunya suhu di mana skala Celsius dan Fahrenheit sama!
\(−40\) derajat Fahrenheit sama persis dengan \(−40\) derajat Celsius. Ini bukan kebetulan, melainkan konsekuensi langsung dari hubungan linear antara kedua skala tersebut. Kedua skala suhu tersebut merupakan transformasi afin (linear + pergeseran) dari besaran fisika yang sama, "suhu". Konversi antara kedua skala ini seringkali membosankan. Namun, ada hal menarik di mana kedua skala tersebut memiliki nilai numerik yang sama.
- Skala Celsius (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) Titik beku air
\(100^\circ\mathrm{C}\) titik didih air
Jarak antara titik-titik tetap ini: \(100\) derajat. - Skala Fahrenheit (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) Titik beku air
\(212^\circ\mathrm{F}\) Titik didih air
Jarak antara titik-titik tetap ini: \(212-32=180\) derajat.
Ini menentukan rasio (kemiringan) antara skala:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
Titik nol (offset) juga berbeda: \(0^\circ\mathrm{C}\) sesuai dengan \(32^\circ\mathrm{F}\) .
Untuk mendapatkan rumus standar, kita mencari pemetaan afin dalam bentuk
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
di mana \(a\) kemiringan (faktor skala) dan \(b\) adalah offset.
Dua kondisi berikut ini cukup karena pemetaan afin melalui dua titik ditentukan secara unik:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
Substitusi menghasilkan rumus standar:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
Kebalikannya (dari Fahrenheit ke Celsius) diperoleh dengan menyelesaikan \(T_\mathrm{C}\) :
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
Sekarang kita mencari suhu \(T\) di mana nilai numerik yang identik muncul di kedua skala:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
Sekarang masukkan \(T_\mathrm{F}\) ke dalam rumus standar:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
dan akhirnya
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
Hal ini mengakibatkan \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
dan dengan demikian
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
Untuk nilai Celsius positif, \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) selalu merupakan nilai numerik yang lebih besar dari \(T_\mathrm{C}\) (misalnya. \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). Untuk nilai Celsius yang cukup negatif, \(32\) Derajat pada awal skala Fahrenheit sebenarnya di bawah nol. Pada titik tertentu, ini mengkompensasi faktor skala \(\frac{9}{5}\). Titik keseimbangan ini adalah tepat \(−40\): ada pergeseran tambahan \(+32\) cukup besar sehingga kedua nilai numerik tersebut identik. Secara grafis, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (garis lurus) dan \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (diagonal) – titik potong garis-garisnya berada di \((-40,-40)\).
Sebaliknya, suhu absolut (misalnya, untuk perhitungan termodinamika) diberikan dalam Kelvin atau Rankine, di mana tidak ada offset dalam konversi skala (hanya faktor skala murni). Misalnya, antara Celsius dan Kelvin \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) berlaku. Adanya offset inilah yang menjadi alasan mengapa pemetaan Celsius-Fahrenheit bersifat afin dan tidak sepenuhnya linear. Persamaan \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) mengikuti langsung dari hubungan afin antara Fahrenheit dan Celsius.
Jika Anda mensubstitusikan \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) ke dalam \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) dan menyelesaikannya, Anda akan mendapatkan \(T=-40\) . Di sinilah kedua skala berpotongan. Titik potong di \(-40\) ini merupakan satu-satunya titik di mana nilai numerik kedua skala identik. Hal ini disebabkan oleh sifat linear dari konversi: dua garis yang tidak sejajar selalu berpotongan tepat di satu titik. Jadi, lain kali seseorang menyebutkan \(-40\) derajat, Anda tidak perlu menanyakan secara eksplisit skala mana yang mereka maksud.