Vi telefonas kun amiko en Usono dum frosta vintra tago. "Ĉi tie estas minus \(40\) gradoj!" vi ambaŭ ekkrias samtempe. Normale, temas pri klarigi kiu celas Celsiajn gradojn kaj kiu celas Fahrenhejt-on — sed ne je tiu specifa temperaturo. Kial? Tiu punkto estas la sola temperaturo, je kiu la Celsiaj kaj Fahrenhejt-aj skaloj kongruas!
\(−40\) gradoj Fahrenheit estas ekzakte \(−40\) gradoj Celsius. Ĉi tio ne estas koincido, sed rekta konsekvenco de la lineara rilato inter la du skaloj. Ambaŭ temperaturskaloj estas afinaj transformoj (linearaj + ŝovo) de la sama fizika kvanto, "temperaturo". Konverti inter ĉi tiuj du skaloj ofte estas teda. Tamen, ekzistas interesa punkto, kie ambaŭ skaloj havas la saman nombran valoron.
- Celsius-skalo (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) Frostpunkto de akvo
bolpunkto de akvo \(100^\circ\mathrm{C}\)
Distanco inter ĉi tiuj fiksaj punktoj: \(100\) gradoj. - Fahrenhejt-skalo (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) Frostpunkto de akvo
\(212^\circ\mathrm{F}\) Bolpunkto de akvo
Distanco inter ĉi tiuj fiksaj punktoj: \(212-32=180\) gradoj.
Ĉi tio difinas la proporcion (deklivon) inter la skaloj:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
La nulpunkto (offseto) ankaŭ estas malsama: \(0^\circ\mathrm{C}\) respondas al \(32^\circ\mathrm{F}\) .
Por derivi la norman formulon, ni serĉas afinan mapon de la formo
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
kie \(a\) la deklivo (skalfaktoro) kaj \(b\) estas la delokigo.
La jenaj du kondiĉoj sufiĉas ĉar afina bildigo tra du punktoj estas unike determinita:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
Anstataŭigo donas la norman formulon:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
La inversa (de Fahrenhejt al Celsius) akiriĝas solvante por \(T_\mathrm{C}\) :
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
Nun ni serĉas la temperaturon \(T\) ĉe kiu la identa numera valoro aperas en ambaŭ skaloj:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
Nun enigu \(T_\mathrm{F}\) en la norman formulon:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
kaj fine
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
Tio rezultas en \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
kaj tiel
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
Por pozitivaj Celsiaj valoroj, \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) ĉiam pli granda numera valoro ol \(T_\mathrm{C}\) (ekz. \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). Por sufiĉe negativaj Celsiaj valoroj, la \(32\) Gradoj ĉe la komenco de la Fahrenhejt-skalo estas fakte sub nulo. Je iu punkto, tio kompensas la skalfaktoron \(\frac{9}{5}\). Ĉi tiu ekvilibropunkto estas ĝuste \(−40\): estas la aldona ŝanĝo \(+32\) ĝuste sufiĉe granda por ke ambaŭ numeraj valoroj estu identaj. Grafike, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (rekta linio) kaj \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (diagonala) – la intersekciĝo de iliaj linioj estas ĉe \((-40,-40)\).
Kontraste, absolutaj temperaturoj (ekz., por termodinamikaj kalkuloj) estas donitaj en Kelvin aŭ Rankine, kie ne estas delokiĝo en la skalkonverto (nur pura skalfaktoro). Ekzemple, inter Celsius kaj Kelvin \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) validas. La ekzisto de ĉi tiu delokiĝo estas ĝuste la kialo, kial la Celsius-Fahrenhejt-mapo estas afina kaj ne pure lineara. La egaleco \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) sekvas rekte el la afina rilato inter Fahrenhejt kaj Celsius.
Se vi anstataŭigas \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) per \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) kaj solvas, vi klare ricevas \(T=-40\) . Ĝuste tie la du skaloj intersekcas. Ĉi tiu intersekciĝo ĉe \(-40\) estas la sola punkto, kie la numeraj valoroj de ambaŭ skaloj estas identaj. Ĉi tio ŝuldiĝas al la lineara naturo de la konverto: du neparalelaj linioj ĉiam intersekcas ĉe precize unu punkto. Do la sekvan fojon, kiam iu mencias \(-40\) gradojn, vi ne devas eksplicite demandi, kiun skalon ili celas.