Μιλάς στο τηλέφωνο με έναν φίλο στις ΗΠΑ μια παγωμένη χειμωνιάτικη μέρα. «Εδώ έχει μείον \(40\) βαθμούς!» αναφωνείτε και οι δύο ταυτόχρονα. Κανονικά, αυτό θα ήταν θέμα διευκρίνισης ποιος εννοεί Κελσίου και ποιος Φαρενάιτ—αλλά όχι σε αυτή τη συγκεκριμένη θερμοκρασία. Γιατί συμβαίνει αυτό; Αυτό το σημείο είναι η μόνη θερμοκρασία στην οποία οι κλίμακες Κελσίου και Φαρενάιτ συμφωνούν!
\(−40\) βαθμοί Φαρενάιτ είναι ακριβώς \(−40\) βαθμοί Κελσίου. Αυτό δεν είναι σύμπτωση, αλλά άμεση συνέπεια της γραμμικής σχέσης μεταξύ των δύο κλιμάκων. Και οι δύο κλίμακες θερμοκρασίας είναι αφινικοί μετασχηματισμοί (γραμμικοί + μετατόπιση) της ίδιας φυσικής ποσότητας, της «θερμοκρασίας». Η μετατροπή μεταξύ αυτών των δύο κλιμάκων είναι συχνά κουραστική. Ωστόσο, υπάρχει ένα ενδιαφέρον σημείο στο οποίο και οι δύο κλίμακες έχουν την ίδια αριθμητική τιμή.
- Κλίμακα Κελσίου (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) Σημείο πήξης του νερού
\(100^\circ\mathrm{C}\) σημείο βρασμού του νερού
Απόσταση μεταξύ αυτών των σταθερών σημείων: \(100\) μοίρες. - Κλίμακα Φαρενάιτ (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) Σημείο πήξης του νερού
\(212^\circ\mathrm{F}\) Σημείο βρασμού του νερού
Απόσταση μεταξύ αυτών των σταθερών σημείων: \(212-32=180\) μοίρες.
Αυτό καθορίζει την αναλογία (κλίση) μεταξύ των κλιμάκων:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
Το σημείο μηδέν (offset) είναι επίσης διαφορετικό: \(0^\circ\mathrm{C}\) αντιστοιχεί στο \(32^\circ\mathrm{F}\) .
Για να εξαγάγουμε τον τυπικό τύπο, αναζητούμε μια αφινική απεικόνιση της μορφής
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
όπου \(a\) η κλίση (συντελεστής κλίμακας) και \(b\) είναι η μετατόπιση.
Οι ακόλουθες δύο συνθήκες είναι επαρκείς επειδή μια αφινική απεικόνιση μέσω δύο σημείων προσδιορίζεται μοναδικά:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
Η αντικατάσταση αποδίδει τον τυπικό τύπο:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
Το αντίστροφο (από Φαρενάιτ σε Κελσίου) προκύπτει λύνοντας ως προς \(T_\mathrm{C}\) :
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
Τώρα αναζητούμε τη θερμοκρασία \(T\) στην οποία εμφανίζεται η ίδια αριθμητική τιμή και στις δύο κλίμακες:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
Τώρα εισάγετε \(T_\mathrm{F}\) στον τυπικό τύπο:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
και τέλος
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
Αυτό έχει ως αποτέλεσμα \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
και έτσι
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
Για θετικές τιμές Κελσίου, \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) πάντα μεγαλύτερη αριθμητική τιμή από \(T_\mathrm{C}\) (π.χ. \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). Για επαρκώς αρνητικές τιμές Κελσίου, το \(32\) Βαθμούς στην αρχή της κλίμακας Φαρενάιτ είναι στην πραγματικότητα κάτω από το μηδέν. Σε κάποιο σημείο, αυτό αντισταθμίζει τον συντελεστή κλίμακας \(\frac{9}{5}\). Αυτό το σημείο ισορροπίας είναι ακριβώς \(−40\): υπάρχει η επιπλέον μετατόπιση \(+32\) αρκετά μεγάλο ώστε και οι δύο αριθμητικές τιμές να είναι ίδιες. Γραφικά, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (μια ευθεία γραμμή) και \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (διαγώνιος) – το σημείο τομής των γραμμών τους είναι στο \((-40,-40)\).
Αντίθετα, οι απόλυτες θερμοκρασίες (π.χ., για θερμοδυναμικούς υπολογισμούς) δίνονται σε βαθμούς Kelvin ή Rankine, όπου δεν υπάρχει μετατόπιση στη μετατροπή κλίμακας (μόνο ένας καθαρός παράγοντας κλίμακας). Για παράδειγμα, μεταξύ Κελσίου και Κέλβιν \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) . Η ύπαρξη αυτής της μετατόπισης είναι ακριβώς ο λόγος για τον οποίο η χαρτογράφηση Κελσίου-Φαρενάιτ είναι αφινική και όχι καθαρά γραμμική. Η ισότητα \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) προκύπτει άμεσα από την αφινική σχέση μεταξύ Φαρενάιτ και Κελσίου.
Αν αντικαταστήσετε \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) με \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) και το λύσετε, προκύπτει σαφώς \(T=-40\) . Αυτό ακριβώς είναι το σημείο όπου τέμνονται οι δύο κλίμακες. Αυτό το σημείο τομής στο \(-40\) είναι το μόνο σημείο στο οποίο οι αριθμητικές τιμές και των δύο κλιμάκων είναι ίδιες. Αυτό οφείλεται στη γραμμική φύση της μετατροπής: δύο μη παράλληλες γραμμές τέμνονται πάντα σε ακριβώς ένα σημείο. Έτσι, την επόμενη φορά που κάποιος αναφέρει \(-40\) βαθμούς, δεν χρειάζεται να ρωτήσετε ρητά ποια κλίμακα εννοεί.