Vous êtes au téléphone avec un ami aux États-Unis par une froide journée d'hiver. « Il fait moins \(40\) degrés ici ! » vous exclamez-vous tous les deux simultanément. Normalement, il s'agirait de clarifier qui parle de Celsius et qui parle de Fahrenheit, mais pas à cette température précise. Pourquoi ? C'est la seule température où les échelles Celsius et Fahrenheit concordent !
\(−40\) degrés Fahrenheit correspondent exactement à \(−40\) degrés Celsius. Ce n'est pas une coïncidence, mais une conséquence directe de la relation linéaire entre les deux échelles. Ces deux échelles de température sont des transformations affines (linéaire + décalage) de la même grandeur physique, la « température ». La conversion entre ces deux échelles est souvent fastidieuse. Cependant, il existe un point intéressant où les deux échelles ont la même valeur numérique.
- Échelle Celsius (°C) :
\(0^\circ\mathrm{C}\) Point de congélation de l'eau
\(100^\circ\mathrm{C}\) point d'ébullition de l'eau
Distance entre ces points fixes : \(100\) degrés. - Échelle Fahrenheit (°F) :
\(32^\circ\mathrm{F}\) Point de congélation de l'eau
\(212^\circ\mathrm{F}\) Point d'ébullition de l'eau
Distance entre ces points fixes : \(212-32=180\) degrés.
Cela détermine le rapport (pente) entre les échelles:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
Le point zéro (offset) est également différent : \(0^\circ\mathrm{C}\) correspond à \(32^\circ\mathrm{F}\) .
Pour dériver la formule standard, nous recherchons une application affine de la forme
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
où \(a\) la pente (facteur d'échelle) et \(b\) est le décalage.
Les deux conditions suivantes sont suffisantes car une application affine passant par deux points est déterminée de manière unique:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
La substitution donne la formule standard :
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
L'inverse (de Fahrenheit à Celsius) est obtenu en résolvant pour \(T_\mathrm{C}\) :
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
Nous recherchons maintenant la température \(T\) à laquelle la même valeur numérique apparaît dans les deux échelles :
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
Insérez maintenant \(T_\mathrm{F}\) dans la formule standard :
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
et enfin
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
Cela se traduit par \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
et donc
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
Pour les valeurs Celsius positives, \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) toujours une valeur numérique plus grande que \(T_\mathrm{C}\) (par exemple \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). Pour des valeurs Celsius suffisamment négatives, la \(32\) Les degrés au début de l'échelle Fahrenheit sont en réalité inférieurs à zéro. À un certain point, cela compense le facteur d'échelle. \(\frac{9}{5}\). Ce point d'équilibre est exactement \(−40\): il y a le décalage supplémentaire \(+32\) juste assez grand pour que les deux valeurs numériques soient identiques. Graphiquement, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (une ligne droite) et \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (diagonale) – le point d’intersection de leurs lignes est à \((-40,-40)\).
En revanche, les températures absolues (par exemple, pour les calculs thermodynamiques) sont données en Kelvin ou Rankine, où il n'y a pas de décalage dans la conversion d'échelle (seulement un facteur d'échelle pur). Par exemple, entre Celsius et Kelvin \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) s'applique. L'existence de ce décalage est précisément la raison pour laquelle la relation Celsius-Fahrenheit est affine et non purement linéaire. L'égalité \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) découle directement de la relation affine entre Fahrenheit et Celsius.
Si vous remplacez \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) par \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) et résolvez, vous obtenez clairement \(T=-40\) . C'est exactement là où les deux échelles se croisent. Ce point d'intersection à \(-40\) est le seul point où les valeurs numériques des deux échelles sont identiques. Cela est dû à la nature linéaire de la conversion : deux droites non parallèles se croisent toujours en un seul point. Ainsi, la prochaine fois que quelqu'un mentionne \(-40\) degrés, vous n'aurez pas besoin de demander explicitement de quelle échelle il s'agit.