Dondurucu bir kış gününde ABD'de bir arkadaşınızla telefonda konuşuyorsunuz. "Burada hava eksi \(40\) derece!" diye bağırıyorsunuz aynı anda. Normalde bu, kimin Celsius'tan, kimin Fahrenheit'tan bahsettiğini netleştirme meselesi olurdu, ama bu sıcaklıkta değil. Neden? Bu nokta, Celsius ve Fahrenheit ölçeklerinin uyuştuğu tek sıcaklık!
\(−40\) derece Fahrenheit tam olarak \(−40\) derece Santigrat'tır. Bu bir tesadüf değil, iki ölçek arasındaki doğrusal ilişkinin doğrudan bir sonucudur. Her iki sıcaklık ölçeği de aynı fiziksel nicelik olan "sıcaklığın" afin dönüşümleridir (doğrusal + kayma). Bu iki ölçek arasında dönüşüm yapmak genellikle zahmetlidir. Ancak, her iki ölçeğin de aynı sayısal değere sahip olduğu ilginç bir nokta vardır.
- Santigrat ölçeği (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) Suyun donma noktası
\(100^\circ\mathrm{C}\) suyun kaynama noktası
Bu sabit noktalar arasındaki uzaklık: \(100\) derece. - Fahrenheit ölçeği (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) Suyun donma noktası
\(212^\circ\mathrm{F}\) Suyun kaynama noktası
Bu sabit noktalar arasındaki uzaklık: \(212-32=180\) derece.
Bu, ölçekler arasındaki oranı (eğimi) belirler:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
Sıfır noktası (ofset) de farklıdır: \(0^\circ\mathrm{C}\) \(32^\circ\mathrm{F}\) ye karşılık gelir.
Standart formülü türetmek için, formun afin bir eşlemesini ararız
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
Burada \(a\) eğimdir (ölçek faktörü) ve \(b\) ofsettir.
Aşağıdaki iki koşul yeterlidir çünkü iki noktadan geçen bir afin eşleme benzersiz bir şekilde belirlenir:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
Yerine koyduğumuzda standart formül ortaya çıkar:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
Tersi (Fahrenheit'tan Santigrat'a) \(T_\mathrm{C}\) yi çözerek elde edilir:
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
Şimdi her iki ölçekte de aynı sayısal değerin göründüğü sıcaklığı \(T\) arıyoruz:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
Şimdi standart formüle \(T_\mathrm{F}\) ekleyelim:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
ve sonunda
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
Bu şu sonucu verir: \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
ve böylece
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
Pozitif Celsius değerleri için, \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) her zaman daha büyük bir sayısal değer \(T_\mathrm{C}\) (örn. \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). Yeterince negatif Celsius değerleri için, \(32\) Fahrenheit ölçeğinin başlangıcındaki dereceler aslında sıfırın altındadır. Bu, bir noktada ölçek faktörünü telafi eder. \(\frac{9}{5}\). Bu denge noktası tam olarak \(−40\): ek vardiya var \(+32\) Her iki sayısal değerin de aynı olması için yeterince büyük. Grafiksel olarak, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (düz bir çizgi) ve \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (çapraz) – çizgilerinin kesişme noktası \((-40,-40)\).
Buna karşılık, mutlak sıcaklıklar (örneğin, termodinamik hesaplamalar için) Kelvin veya Rankine cinsinden verilir ve ölçek dönüşümünde bir ofset yoktur (sadece saf bir ölçek faktörü). Örneğin, Celsius ve Kelvin arasında \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) geçerlidir. Bu ofsetin varlığı, Celsius-Fahrenheit eşlemesinin afin olmasının ve tamamen doğrusal olmamasının nedenidir. \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) eşitliği, Fahrenheit ve Celsius arasındaki afin ilişkiden doğrudan kaynaklanır.
\(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) ifadesini \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) yerine koyup çözerseniz, açıkça \(T=-40\) elde edersiniz. İki ölçeğin kesiştiği nokta tam olarak burasıdır. \(-40\) noktasındaki bu kesişim noktası, her iki ölçeğin sayısal değerlerinin aynı olduğu tek noktadır. Bu, dönüşümün doğrusal yapısından kaynaklanır: paralel olmayan iki doğru her zaman tam olarak aynı noktada kesişir. Dolayısıyla bir dahaki sefere birisi \(-40\) dereceden bahsettiğinde, hangi ölçeği kastettiğini açıkça sormanıza gerek kalmaz.