Du pratar i telefon med en vän i USA en iskall vinterdag. ”Det är minus \(40\) grader här!” utbrister ni båda samtidigt. Normalt sett skulle det handla om att klargöra vem som menar Celsius och vem som menar Fahrenheit – men inte vid just den här temperaturen. Varför det? Den här punkten är den enda temperaturen där Celsius- och Fahrenheitskalorna överensstämmer!
\(−40\) grader Fahrenheit är exakt \(−40\) grader Celsius. Detta är ingen slump, utan en direkt konsekvens av det linjära förhållandet mellan de två skalorna. Båda temperaturskalorna är affina transformationer (linjär + förskjutning) av samma fysikaliska kvantitet, "temperatur". Att konvertera mellan dessa två skalor är ofta mödosamt. Det finns dock en intressant punkt där båda skalorna har samma numeriska värde.
- Celsiusskala (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) Vattnets fryspunkt
Kokpunkten för vatten \(100^\circ\mathrm{C}\)
Avståndet mellan dessa fixpunkter: \(100\) grader. - Fahrenheitskala (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) Vattnets fryspunkt
\(212^\circ\mathrm{F}\) Vattnets kokpunkt
Avståndet mellan dessa fixpunkter: \(212-32=180\) grader.
Detta bestämmer förhållandet (lutningen) mellan skalorna:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
Nollpunkten (offset) är också annorlunda: \(0^\circ\mathrm{C}\) motsvarar \(32^\circ\mathrm{F}\) .
För att härleda standardformeln letar vi efter en affin avbildning av formen
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
där \(a\) lutningen (skalfaktorn) och \(b\) är förskjutningen.
Följande två villkor är tillräckliga eftersom en affin avbildning genom två punkter är unikt bestämd:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
Genom att ersätta får man standardformeln:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
Inversen (från Fahrenheit till Celsius) erhålls genom att lösa för \(T_\mathrm{C}\) :
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
Nu letar vi efter temperaturen \(T\) vid vilken det identiska numeriska värdet visas i båda skalorna:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
Sätt nu in \(T_\mathrm{F}\) i standardformeln:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
och slutligen
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
Detta resulterar i \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
och därmed
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
För positiva Celsiusvärden, \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) alltid ett större numeriskt värde än \(T_\mathrm{C}\) (till exempel. \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). För tillräckligt negativa Celsius-värden, \(32\) Grader i början av Fahrenheit-skalan är faktiskt under noll. Vid någon tidpunkt kompenserar detta för skalfaktorn \(\frac{9}{5}\). Denna balanspunkt är exakt \(−40\): det finns den ytterligare förskjutningen \(+32\) precis tillräckligt stor så att båda numeriska värdena är identiska. Grafiskt sett, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (en rak linje) och \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (diagonal) – skärningspunkten mellan deras linjer är vid \((-40,-40)\).
Däremot anges absoluta temperaturer (t.ex. för termodynamiska beräkningar) i Kelvin eller Rankine, där det inte finns någon förskjutning i skalomvandlingen (endast en ren skalfaktor). Till exempel, mellan Celsius och Kelvin gäller \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) . Förekomsten av denna förskjutning är just anledningen till att Celsius-Fahrenheit-avbildningen är affin och inte helt linjär. Likheten \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) följer direkt av det affina förhållandet mellan Fahrenheit och Celsius.
Om du ersätter \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) med \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) och löser det, får du tydligt \(T=-40\) . Det är precis här de två skalorna skär varandra. Denna skärningspunkt vid \(-40\) är den enda punkten där de numeriska värdena för båda skalorna är identiska. Detta beror på omvandlingens linjära natur: två icke-parallella linjer skär alltid varandra i exakt en punkt. Så nästa gång någon nämner \(-40\) grader behöver du inte explicit fråga vilken skala de menar.