Du taler i telefon med en ven i USA på en iskold vinterdag. "Det er minus \(40\) grader her!" udbryder I begge samtidig. Normalt ville det handle om at præcisere, hvem der mener Celsius, og hvem der mener Fahrenheit – men ikke ved denne specifikke temperatur. Hvorfor det? Dette punkt er den eneste temperatur, hvor Celsius- og Fahrenheit-skalaerne stemmer overens!
\(−40\) grader Fahrenheit er præcis \(−40\) grader Celsius. Dette er ikke tilfældigt, men en direkte konsekvens af det lineære forhold mellem de to skalaer. Begge temperaturskalaer er affine transformationer (lineær + forskydning) af den samme fysiske størrelse, "temperatur". Konvertering mellem disse to skalaer er ofte besværligt. Der er dog et interessant punkt, hvor begge skalaer har den samme numeriske værdi.
- Celsius-skala (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) Vandets frysepunkt
\(100^\circ\mathrm{C}\) kogepunkt for vand
Afstand mellem disse fikspunkter: \(100\) grader. - Fahrenheit-skala (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) Vandets frysepunkt
\(212^\circ\mathrm{F}\) Vands kogepunkt
Afstand mellem disse fikspunkter: \(212-32=180\) grader.
Dette bestemmer forholdet (hældningen) mellem skalaerne:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
Nulpunktet (offset) er også anderledes: \(0^\circ\mathrm{C}\) svarer til \(32^\circ\mathrm{F}\) .
For at udlede standardformlen søger vi efter en affin afbildning af formen
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
hvor \(a\) hældningen (skalafaktoren) og \(b\) er forskydningen.
De følgende to betingelser er tilstrækkelige, fordi en affin afbildning gennem to punkter er entydigt bestemt:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
Ved at substituere får man standardformlen:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
Den inverse værdi (fra Fahrenheit til Celsius) opnås ved at løse for \(T_\mathrm{C}\) :
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
Nu leder vi efter den temperatur \(T\) hvor den identiske numeriske værdi vises i begge skalaer:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
Indsæt nu \(T_\mathrm{F}\) i standardformlen:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
og endelig
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
Dette resulterer i \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
og dermed
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
For positive Celsius-værdier, \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) altid en større numerisk værdi end \(T_\mathrm{C}\) (f.eks. \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). For tilstrækkeligt negative Celsius-værdier, \(32\) Grader i starten af Fahrenheit-skalaen er faktisk under nul. På et tidspunkt kompenserer dette for skalafaktoren \(\frac{9}{5}\). Dette balancepunkt er præcis \(−40\): der er det ekstra skift \(+32\) lige stor nok til at begge numeriske værdier er identiske. Grafisk set, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (en lige linje) og \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (diagonal) – skæringspunktet mellem deres linjer er ved \((-40,-40)\).
I modsætning hertil er absolutte temperaturer (f.eks. til termodynamiske beregninger) angivet i Kelvin eller Rankine, hvor der ikke er nogen forskydning i skalaomregningen (kun en ren skalafaktor). For eksempel gælder \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) mellem Celsius og Kelvin. Eksistensen af denne forskydning er netop grunden til, at Celsius-Fahrenheit-afbildningen er affin og ikke rent lineær. Lighed \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) følger direkte af det affine forhold mellem Fahrenheit og Celsius.
Hvis du indsætter \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) i \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) og løser det, får du tydeligvis \(T=-40\) . Det er præcis her, de to skalaer skærer hinanden. Dette skæringspunkt ved \(-40\) er det eneste punkt, hvor de numeriske værdier for begge skalaer er identiske. Dette skyldes den lineære natur af konverteringen: to ikke-parallelle linjer skærer altid hinanden i præcis ét punkt. Så næste gang nogen nævner \(-40\) grader, behøver du ikke eksplicit at spørge, hvilken skala de mener.