Estás hablando por teléfono con un amigo en EE. UU. en un gélido día de invierno. "¡Hace menos \(40\) grados aquí!", exclaman ambos a la vez. Normalmente, se trataría de aclarar quién se refiere a Celsius y quién a Fahrenheit, pero no a esta temperatura en particular. ¿Por qué? ¡Esta es la única temperatura en la que las escalas Celsius y Fahrenheit coinciden!
\(−40\) grados Fahrenheit son exactamente \(−40\) grados Celsius. Esto no es casualidad, sino una consecuencia directa de la relación lineal entre ambas escalas. Ambas escalas de temperatura son transformaciones afines (lineal + desplazamiento) de la misma magnitud física: la temperatura. Convertir entre estas dos escalas suele ser tedioso. Sin embargo, hay un punto interesante en el que ambas escalas tienen el mismo valor numérico.
- Escala Celsius (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) Punto de congelación del agua
\(100^\circ\mathrm{C}\) punto de ebullición del agua
Distancia entre estos puntos fijos: \(100\) grados. - Escala Fahrenheit (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) Punto de congelación del agua
\(212^\circ\mathrm{F}\) Punto de ebullición del agua
Distancia entre estos puntos fijos: \(212-32=180\) grados.
Esto determina la relación (pendiente) entre las escalas.:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
El punto cero (desplazamiento) también es diferente: \(0^\circ\mathrm{C}\) corresponde a \(32^\circ\mathrm{F}\) .
Para derivar la fórmula estándar, buscamos una aplicación afín de la forma
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
donde \(a\) la pendiente (factor de escala) y \(b\) es el desplazamiento.
Las dos condiciones siguientes son suficientes porque una aplicación afín a través de dos puntos está determinada de forma única:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
Sustituyendo obtenemos la fórmula estándar:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
La inversa (de Fahrenheit a Celsius) se obtiene resolviendo \(T_\mathrm{C}\) :
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
Ahora buscamos la temperatura \(T\) en la que aparece el mismo valor numérico en ambas escalas:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
Ahora inserte \(T_\mathrm{F}\) en la fórmula estándar:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
y finalmente
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
Esto da como resultado \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
y por lo tanto
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
Para valores Celsius positivos, \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) siempre un valor numérico mayor que \(T_\mathrm{C}\) (p.ej. \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). Para valores Celsius suficientemente negativos, el \(32\) Los grados al inicio de la escala Fahrenheit están en realidad por debajo de cero. En algún momento, esto compensa el factor de escala. \(\frac{9}{5}\). Este punto de equilibrio es exactamente \(−40\): Hay un cambio adicional \(+32\) lo suficientemente grande como para que ambos valores numéricos sean idénticos. Gráficamente, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (una línea recta) y \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (diagonal) – el punto de intersección de sus líneas está en \((-40,-40)\).
En cambio, las temperaturas absolutas (p. ej., para cálculos termodinámicos) se expresan en Kelvin o Rankine, donde no hay desfase en la conversión de escala (solo un factor de escala puro). Por ejemplo, entre Celsius y Kelvin \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) . La existencia de este desfase es precisamente la razón por la que la correspondencia entre Celsius y Fahrenheit es afín y no puramente lineal. La igualdad \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) se deduce directamente de la relación afín entre Fahrenheit y Celsius.
Si sustituyes \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) y resuelves, obtienes claramente \(T=-40\) . Aquí es exactamente donde se intersecan las dos escalas. Este punto de intersección en \(-40\) es el único en el que los valores numéricos de ambas escalas son idénticos. Esto se debe a la naturaleza lineal de la conversión: dos rectas no paralelas siempre se intersecan en exactamente un punto. Así, la próxima vez que alguien mencione \(-40\) grados, no tienes que preguntar explícitamente a qué escala se refiere.