在一个寒冷的冬日，你正和一位在美国的朋友打电话。“这里是零下\(40\)度！”你们俩同时惊呼。通常情况下，这需要你分清谁指的是摄氏度，谁指的是华氏度——但在这个特定的温度下，情况并非如此。为什么？因为只有在这个点，摄氏和华氏温标才一致！
\(−40\)华氏度恰好等于\(−40\)摄氏度。这并非巧合，而是两种温标之间线性关系的直接结果。两种温标都是同一物理量“温度”的仿射变换（线性变换 + 移位变换）。在这两种温标之间进行转换通常非常繁琐。然而，有趣的是，这两种温标的数值完全相同。
- 摄氏度（°C）：
\(0^\circ\mathrm{C}\)水的冰点
水的沸点\(100^\circ\mathrm{C}\)
这些固定点之间的距离： \(100\)度。 - 华氏温标 (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\)水的冰点
\(212^\circ\mathrm{F}\)水的沸点
这些固定点之间的距离： \(212-32=180\)度。
这决定了尺度之间的比率（斜率）:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
零点（偏移量）也不同： \(0^\circ\mathrm{C}\)对应于\(32^\circ\mathrm{F}\) 。
为了推导标准公式，我们寻找形式为
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
其中\(a\)斜率（比例因子）， \(b\)是偏移量。
以下两个条件是充分的，因为通过两点的仿射映射是唯一确定的:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
代入后得到标准公式：
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
通过求解\(T_\mathrm{C}\)可以得到逆温度（从华氏度到摄氏度）：
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
现在我们寻找在两个尺度上出现相同数值的温度\(T\) ：
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
现在将\(T_\mathrm{F}\)插入到标准公式中：
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
最后
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
这导致 \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
因此
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
对于正摄氏度值， \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) 总是比 \(T_\mathrm{C}\) （例如。 \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). 对于足够负的摄氏度值， \(32\) 华氏温标起始处的度数实际上低于零度。在某种程度上，这补偿了比例因子 \(\frac{9}{5}\). 这个平衡点 正是 \(−40\): 还有额外的转变 \(+32\) 刚好足够大，使得两个数值相同。从图形上看， \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) （一条直线）和 \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) （对角线）——它们的线的交点位于 \((-40,-40)\).
相比之下，绝对温度（例如用于热力学计算）以开尔文或兰氏度表示，其中尺度转换中没有偏移（只有纯尺度因子）。例如，在摄氏度和开尔文之间\(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\)适用。这种偏移的存在正是摄氏度-华氏度映射是仿射关系而非纯线性关系的原因。等式\(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\)直接源于华氏度和摄氏度之间的仿射关系。
如果将\(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\)代入\(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\)并求解，显然会得到\(T=-40\) 。这正是两个尺度相交的位置。这个\(-40\)处的交点是两个尺度数值唯一相同的点。这是由于转换的线性特性：两条非平行线总是相交于一个点。所以下次有人提到\(-40\)度时，你不必明确询问他们指的是哪个尺度。