Sayıların dünyasında her zaman hem şaşırtıcı hem de aydınlatıcı olabilecek şaşırtıcı desenlerle karşılaşırsınız. Bu meraklardan biri de Birinci Basamak Yasası olarak da bilinen Benford Yasasıdır. Bu matematiksel olgu, birçok gerçek veri kümesindeki ilk rakamların frekans dağılımını tanımlar ve çevremizde meydana gelen sayıların doğasına dair ilginç bilgiler sunar.
Adını 1938'de onu yeniden keşfeden fizikçi Frank Benford'dan alan Benford Yasası büyüleyici bir gözlemdir: birçok doğal, ekonomik ve bilimsel veri setinde sayıların ilk rakamı eşit şekilde dağılmamıştır. Bunun yerine, \(1\) rakamı diğer rakamlara göre çok daha sık ilk rakam olarak görünür. Daha spesifik olarak, bir sayının belirli bir rakamla \(d\) başlama olasılığı formülle verilir
$$P(d) = \log_{10}(1 + \frac{1}{d})$$
burada \(d\) \(1\) ile \(9\) arasındaki rakamlardan biridir. Bu formül, örneğin \(1\) rakamının \(30,1 \%\) civarında ilk rakam olarak göründüğünü, \(9\) rakamının ise yalnızca \(4,6 \%\) civarında göründüğünü söyler. zaman meydana gelir.
Yasa, logaritmanın ölçeklendirme değişmezliği ile açıklanabilir. Sayılara farklı büyüklük sıralarından bakarsanız ve bunları logaritmik ölçekte çizerseniz, ilk birkaç rakam Benford yasasının öngördüğü şekilde dağıtılacaktır. Bunun nedeni, \(10\) un ardışık iki kuvveti arasındaki logaritmik boşluğun (örneğin, 10 ile \(100\) arasında veya \(100\) ile \(1000\) arasında) Sayılar büyüdükçe büyümesidir. Bu, daha küçük ilk rakamların daha fazla "yer" kapladığı ve dolayısıyla oluşma olasılığının daha yüksek olduğu anlamına gelir.
Benford Yasasının adli tıptan veri bilimine kadar çeşitli alanlarda uygulamaları vardır.:
- Dolandırıcılık tespiti: Denetçiler mali verilerdeki usulsüzlükleri tespit etmek için yasayı kullanır. Şirket bilançolarındaki ilk rakamların dağılımı Benford Yasasından önemli ölçüde sapıyorsa, bu manipülasyon veya sahtekarlığa işaret edebilir.
- Bilimsel veri analizi: Araştırmacılar veri setlerinin güvenilirliğini test etmek için yasayı kullanıyor. Beklenen dağılımdan sapma, veri toplamadaki hatalara işaret edebilir.
Geniş uygulanabilirliğine rağmen Benford yasası evrensel olarak geçerli değildir. Öncelikle farklı boyutlarda sayılar içeren ve doğal olarak dağıtılan veri kümeleri için geçerlidir. Küçük bir aralıktaki veya yapay olarak sınırlandırılmış (posta kodları veya sosyal güvenlik numaraları gibi) numara serileri genellikle bu yasaya uymaz.
Benford Yasası, matematiksel ilkelerin gerçek dünyada beklenmedik ve anlayışlı şekillerde nasıl ortaya çıkabileceğinin en büyüleyici örneklerinden biri olmaya devam ediyor. Pratikteki uygulaması, matematiğin sadece soyut bir bilim olmadığını, aynı zamanda gerçekliği analiz etmek için yararlı bir araç olduğunu göstermektedir. İster dolandırıcılığı tespit etmek ister bilimsel verileri doğrulamak olsun, Benford Yasası dünyamızı şekillendiren sayılara dair benzersiz bir bakış açısı sunuyor.