Թվերի աշխարհում դուք միշտ հանդիպում եք զարմանալի օրինաչափությունների, որոնք կարող են լինել և՛ ապշեցուցիչ, և՛ լուսավորող: Նման հետաքրքրասիրություններից մեկը Բենֆորդի օրենքն է, որը նաև հայտնի է որպես Առաջին թվի օրենք: Այս մաթեմատիկական երևույթը նկարագրում է առաջին թվանշանների հաճախականության բաշխումը բազմաթիվ իրական տվյալների հավաքածուներում և առաջարկում է հետաքրքիր պատկերացումներ թվերի բնույթի վերաբերյալ, երբ դրանք տեղի են ունենում մեր միջավայրում:
Բենֆորդի օրենքը, որն անվանվել է ի պատիվ ֆիզիկոս Ֆրենկ Բենֆորդի, որը վերագտնել է այն 1938 թվականին, հետաքրքրաշարժ դիտարկում է. բազմաթիվ բնական, տնտեսական և գիտական տվյալների հավաքածուներում թվերի առաջին նիշը հավասարաչափ բաշխված չէ: Փոխարենը, \(1\) թվանշանը շատ ավելի հաճախ է հայտնվում որպես առաջին թվանշան, քան մյուս թվերը: Ավելի կոնկրետ, հավանականությունը, որ թիվը սկսվում է տրված \(d\) թվանշանով, տրվում է բանաձևով.
$$P(d) = \log_{10}(1 + \frac{1}{d})$$
որտեղ \(d\) -ը \(1\) մինչև \(9\) թվանշաններից մեկն է: Այս բանաձևը ասում է, որ, օրինակ, \(1\) թվանշանը հայտնվում է որպես ժամանակի \(30,1 \%\) առաջին նիշ, մինչդեռ \(9\) թվանշանը հայտնվում է միայն \(4,6 \%\) մոտ: ժամանակի տեղի է ունենում.
Օրենքը կարելի է բացատրել լոգարիթմների մասշտաբային անփոփոխությամբ։ Եթե նայեք մեծության տարբեր կարգերի թվերին և դրանք գծեք լոգարիթմական սանդղակով, ապա առաջին մի քանի թվանշանները կբաշխվեն այնպես, ինչպես կանխատեսվում էր Բենֆորդի օրենքով: Դա պայմանավորված է նրանով, որ \(10\) ի երկու հաջորդական հզորությունների միջև լոգարիթմական տարածությունը (օրինակ՝ 10-ի և \(100\) կամ \(100\) և \(1000\) ի միջև) մեծանում է, որքան մեծ են թվերը: Սա նշանակում է, որ փոքր առաջին թվանշանները ավելի շատ «տարածք» են զբաղեցնում և, հետևաբար, ավելի հավանական է, որ տեղի ունենան:
Բենֆորդի օրենքը կիրառություն ունի տարբեր ոլորտներում՝ դատական փորձաքննությունից մինչև տվյալների գիտություն:
- Խարդախության հայտնաբերում: Աուդիտորներն օգտագործում են օրենքը ֆինանսական տվյալների խախտումները հայտնաբերելու համար: Եթե ընկերության հաշվեկշռում առաջին թվերի բաշխումը զգալիորեն շեղվում է Բենֆորդի օրենքից, դա կարող է վկայել մանիպուլյացիայի կամ խարդախության մասին:
- Գիտական տվյալների վերլուծություն: Հետազոտողները օգտագործում են օրենքը տվյալների հավաքածուների հուսալիությունը ստուգելու համար: Սպասվող բաշխումից շեղումը կարող է ցույց տալ տվյալների հավաքագրման սխալներ:
Չնայած իր լայն կիրառելիությանը, Բենֆորդի օրենքը համընդհանուր վավերական չէ: Այն հիմնականում վերաբերում է տվյալների հավաքածուներին, որոնք պարունակում են տարբեր չափերի թվեր և բնականաբար բաշխված են: Համարների շարքերը, որոնք գտնվում են փոքր տիրույթում կամ արհեստականորեն սահմանափակված են (օրինակ՝ փոստային ինդեքսները կամ սոցիալական ապահովության համարները), սովորաբար չեն հետևում այս օրենքին:
Բենֆորդի օրենքը մնում է ամենահետաքրքիր օրինակներից մեկը, թե ինչպես են մաթեմատիկական սկզբունքները կարող են հայտնվել իրական աշխարհում անսպասելի և խորաթափանց ձևերով: Դրա կիրառումը գործնականում ցույց է տալիս, որ մաթեմատիկան պարզապես վերացական գիտություն չէ, այլ իրականությունը վերլուծելու օգտակար գործիք։ Անկախ նրանից, թե խարդախության հայտնաբերման կամ գիտական տվյալների ստուգման համար, Բենֆորդի օրենքը եզակի հեռանկար է առաջարկում մեր աշխարհը ձևավորող թվերի վերաբերյալ: