در دنیای اعداد، شما همیشه با الگوهای شگفت انگیزی روبرو می شوید که می توانند هم شگفت انگیز و هم روشنگر باشند. یکی از این کنجکاوی ها قانون بنفورد است که به عنوان قانون رقم اول نیز شناخته می شود. این پدیده ریاضی توزیع بسامد اولین ارقام را در بسیاری از مجموعه‌های داده واقعی توصیف می‌کند و بینش‌های جالبی را در مورد ماهیت اعداد در محیط ما ارائه می‌دهد.
قانون بنفورد، که به افتخار فیزیکدانی به نام فرانک بنفورد که در سال 1938 آن را دوباره کشف کرد، نامگذاری شده است، یک مشاهده جذاب است: در بسیاری از مجموعه داده های طبیعی، اقتصادی و علمی، رقم اول اعداد به طور مساوی توزیع نشده است. در عوض، رقم \(1\) به عنوان رقم اول خیلی بیشتر از سایر اعداد ظاهر می شود. به طور دقیق تر، احتمال شروع یک عدد با یک رقم معین \(d\) با فرمول داده می شود.
$$P(d) = \log_{10}(1 + \frac{1}{d})$$
که در آن \(d\) یکی از اعداد \(1\) تا \(9\) است. این فرمول می گوید که، برای مثال، رقم \(1\) به عنوان اولین رقم در مورد \(30,1 \%\) زمان ظاهر می شود، در حالی که رقم \(9\) فقط حدود \(4,6 \%\) ظاهر می شود. زمان رخ می دهد
این قانون را می توان با تغییر مقیاس مقیاس لگاریتم ها توضیح داد. اگر به اعداد از مرتبه های مختلف نگاه کنید و آنها را در مقیاس لگاریتمی رسم کنید، چند رقم اول طبق قانون بنفورد پیش بینی می شود. این به این دلیل است که فضای لگاریتمی بین دو توان متوالی \(10\) (به عنوان مثال بین 10 و \(100\) یا بین \(100\) و \(1000\) ) بزرگتر می شود هر چه اعداد بزرگتر باشند. این بدان معنی است که ارقام اول کوچکتر "فضای" بیشتری را اشغال می کنند و بنابراین احتمال وقوع آنها بیشتر است.
قانون بنفورد در زمینه های مختلف، از پزشکی قانونی گرفته تا علم داده، کاربرد دارد:
- کشف تقلب: حسابرسان از قانون برای کشف بی نظمی در داده های مالی استفاده می کنند. اگر توزیع اولین ارقام در ترازنامه شرکت به طور قابل توجهی از قانون بنفورد منحرف شود، این ممکن است نشان دهنده دستکاری یا تقلب باشد.
- تجزیه و تحلیل داده های علمی: محققان از قانون برای آزمایش قابلیت اطمینان مجموعه داده ها استفاده می کنند. انحراف از توزیع مورد انتظار ممکن است نشان دهنده خطا در جمع آوری داده ها باشد.
علیرغم کاربرد گسترده آن، قانون بنفورد اعتبار جهانی ندارد. این در درجه اول برای مجموعه های داده ای اعمال می شود که شامل اعداد با اندازه های مختلف و به طور طبیعی توزیع شده اند. سری های اعدادی که در محدوده کمی قرار دارند یا به طور مصنوعی محدود هستند (مانند کد پستی یا شماره تامین اجتماعی) معمولاً از این قانون پیروی نمی کنند.
قانون بنفورد یکی از جذاب‌ترین نمونه‌های این است که چگونه اصول ریاضی می‌توانند در دنیای واقعی به روش‌های غیرمنتظره و روشن‌گری ظاهر شوند. کاربرد آن در عمل نشان می دهد که ریاضیات فقط یک علم انتزاعی نیست، بلکه ابزار مفیدی برای تجزیه و تحلیل واقعیت است. قانون بنفورد چه برای کشف تقلب و چه برای تأیید داده های علمی، دیدگاه منحصر به فردی را در مورد اعدادی که جهان ما را شکل می دهند ارائه می دهد.