எண்களின் உலகில், நீங்கள் எப்பொழுதும் ஆச்சரியமான வடிவங்களைக் காண்கிறீர்கள், அவை வியக்கவைக்கும் மற்றும் ஒளிரும். முதல் இலக்கத்தின் சட்டம் என்றும் அழைக்கப்படும் பென்ஃபோர்டின் சட்டம் அத்தகைய ஆர்வத்தில் ஒன்றாகும். இந்த கணித நிகழ்வு பல உண்மையான தரவுத் தொகுப்புகளில் முதல் இலக்கங்களின் அதிர்வெண் விநியோகத்தை விவரிக்கிறது மற்றும் நமது சூழலில் அவை நிகழும்போது எண்களின் தன்மை பற்றிய சுவாரஸ்யமான நுண்ணறிவுகளை வழங்குகிறது.
பென்ஃபோர்டின் சட்டம், 1938 இல் மீண்டும் கண்டுபிடித்த இயற்பியலாளர் ஃபிராங்க் பென்ஃபோர்டின் பெயரிடப்பட்டது, இது ஒரு கண்கவர் கவனிப்பு: பல இயற்கை, பொருளாதார மற்றும் அறிவியல் தரவுத் தொகுப்புகளில், எண்களின் முதல் இலக்கம் சமமாக விநியோகிக்கப்படவில்லை. அதற்குப் பதிலாக, மற்ற எண்களைக் காட்டிலும் \(1\) இலக்கமானது முதல் இலக்கமாகத் தோன்றும். இன்னும் குறிப்பாக, ஒரு எண் கொடுக்கப்பட்ட இலக்கத்துடன் தொடங்கும் நிகழ்தகவு \(d\) சூத்திரத்தால் வழங்கப்படுகிறது
$$P(d) = \log_{10}(1 + \frac{1}{d})$$
\(d\) என்பது \(1\) முதல் \(9\) வரை உள்ள இலக்கங்களில் ஒன்றாகும். எடுத்துக்காட்டாக, \(1\) இலக்கமானது அந்த நேரத்தின் \(30,1 \%\) முதல் இலக்கமாகத் தோன்றும், அதே நேரத்தில் \(9\) இலக்கமானது \(4,6 \%\) மட்டுமே தோன்றும் என்று இந்த சூத்திரம் கூறுகிறது. நேரம் ஏற்படுகிறது.
மடக்கைகளின் அளவிடுதல் மாறுபாட்டின் மூலம் சட்டத்தை விளக்கலாம். நீங்கள் வெவ்வேறு அளவு வரிசைகளிலிருந்து எண்களைப் பார்த்து அவற்றை மடக்கை அளவில் வரைந்தால், பென்ஃபோர்டின் விதியின்படி முதல் சில இலக்கங்கள் விநியோகிக்கப்படும். ஏனென்றால், \(10\) (எ.கா. 10 மற்றும் \(100\) அல்லது \(100\) மற்றும் \(1000\) ) இன் தொடர்ச்சியான இரண்டு சக்திகளுக்கு இடையே உள்ள மடக்கை இடைவெளி பெரியதாகிறது. இதன் பொருள் சிறிய முதல் இலக்கங்கள் அதிக "இடத்தை" எடுத்துக்கொள்கின்றன, எனவே அவை ஏற்படுவதற்கான வாய்ப்புகள் அதிகம்.
பென்ஃபோர்டின் சட்டம் தடயவியல் முதல் தரவு அறிவியல் வரை பல்வேறு துறைகளில் பயன்பாடுகளைக் கொண்டுள்ளது:
- மோசடி கண்டறிதல்: நிதித் தரவுகளில் முறைகேடுகளைக் கண்டறிய தணிக்கையாளர்கள் சட்டத்தைப் பயன்படுத்துகின்றனர். நிறுவனத்தின் இருப்புநிலைக் குறிப்பில் முதல் இலக்கங்களின் விநியோகம் பென்ஃபோர்டின் சட்டத்திலிருந்து கணிசமாக விலகினால், இது கையாளுதல் அல்லது மோசடியைக் குறிக்கலாம்.
- அறிவியல் தரவு பகுப்பாய்வு: தரவுத் தொகுப்புகளின் நம்பகத்தன்மையை சோதிக்க ஆராய்ச்சியாளர்கள் சட்டத்தைப் பயன்படுத்துகின்றனர். எதிர்பார்க்கப்படும் விநியோகத்திலிருந்து ஒரு விலகல் தரவு சேகரிப்பில் பிழைகளைக் குறிக்கலாம்.
அதன் பரந்த பொருந்தக்கூடிய தன்மை இருந்தபோதிலும், பென்ஃபோர்டின் சட்டம் உலகளவில் செல்லுபடியாகாது. இது முதன்மையாக வெவ்வேறு அளவுகளின் எண்களைக் கொண்டிருக்கும் மற்றும் இயற்கையாக விநியோகிக்கப்படும் தரவுத் தொகுப்புகளுக்குப் பொருந்தும். ஒரு சிறிய வரம்பிற்குள் இருக்கும் அல்லது செயற்கையாக வரையறுக்கப்பட்ட (ஜிப் குறியீடுகள் அல்லது சமூக பாதுகாப்பு எண்கள் போன்றவை) எண் தொடர்கள் பொதுவாக இந்தச் சட்டத்தைப் பின்பற்றுவதில்லை.
நிஜ உலகில் எதிர்பாராத மற்றும் நுண்ணறிவுள்ள வழிகளில் கணிதக் கோட்பாடுகள் எவ்வாறு தோன்றும் என்பதற்கு பென்ஃபோர்டின் சட்டம் மிகவும் கவர்ச்சிகரமான எடுத்துக்காட்டுகளில் ஒன்றாகும். நடைமுறையில் அதன் பயன்பாடு கணிதம் ஒரு சுருக்க அறிவியல் மட்டுமல்ல, யதார்த்தத்தை பகுப்பாய்வு செய்வதற்கான ஒரு பயனுள்ள கருவி என்பதைக் காட்டுகிறது. மோசடியைக் கண்டறிவதற்கோ அல்லது அறிவியல் தரவைச் சரிபார்ப்பதற்கோ, Benford’s Law நம் உலகத்தை வடிவமைக்கும் எண்களில் ஒரு தனித்துவமான கண்ணோட்டத்தை வழங்குகிறது.