In mundo numerorum semper occurres mirabilia exemplaria, quae tam stupenda et illustrantia esse possunt. Una talis curiositas est Lex Benford, quae etiam Lex primi Digiti appellatur. Hoc mathematicum phaenomenon describit frequentiam primorum digitorum in multis notitiarum realium collocationum et offert iucundas perceptiones in natura numerorum, prout in ambitu nostro occurrunt.
Lex Benford, a physico Frank Benford nominata, qui eam anno 1938 reperit, observatio fascinantis est: in multis notitiis naturalibus, oeconomicis et scientificis ponit, primus numerus numerorum aequaliter non distribuitur. Sed \(1\) primarius multo saepius quam ceteri numeri. Specialius vero probabile est numerum a data \(d\) inchoare formulam dari
$$P(d) = \log_{10}(1 + \frac{1}{d})$$
ubi \(d\) est unus digitorum \(1\) ad \(9\) . Haec formula dicit, exempli gratia, digitum \(1\) esse primum digiti temporis circa \(30,1 \%\) , dum digitus \(9\) tantum apparet circa \(4,6 \%\) temporis occurs.
Scala invariacitate logarithmorum explicari potest lex. Si numeros e diversis ordinibus magnitudinis spectes et eos in scala logarithmica spectes, primi numeri pauci secundum legem Benford praedictum distribuentur. Hoc est, quia logarithmicum spatium inter duas potentias consecutivas \(10\) (exempli causa inter 10 et \(100\) vel inter \(100\) et \(1000\) ) fit maius, quo Numeri majores sunt. Hoc significat quod minores primi digiti plus "spatium" capiunt et ideo magis verisimile est evenire.
Benford's applicationes in variis agris, a forensibus ad notitias scientias habet:
- Fraus deprehensio: Auditores lege utuntur ad irregularitates deprehendendas in notitia nummaria. Si distributio primorum digitorum in societatibus schedae librae significanter a Lege Benford deviat, hoc indicare potest manipulationem vel fraudem.
- Analysis scientifica: Investigatores in lege utuntur ad probandum certa notitiarum copiarum. Deviatio ab exspectatione distributionis errores in notitia collectionis indicari potest.
Quamvis lata applicabilitas eius, lex Benford universaliter non valet. Praesertim ad notitias collocationes pertinet, quae numerorum diversarum magnitudinum continent et naturaliter distribuuntur. Series numerorum quae intra parvam extensionem sunt vel artificiose circumscripta sunt (qualia sunt notae notae vel numeri securitati sociali) hanc legem plerumque non sequuntur.
Lex Benford manet unum exempla fascinantium quomodo principia mathematica in rerum natura inopinatis et prudentibus modis apparere possunt. Eius applicatio in praxi ostendit mathematicam non esse scientiam tantum abstractam, sed instrumentum utile ad realitatem examinandam. Utrum ad fraudem deprehendendam vel comprobandum notitias scientificas Lex Benford praebet unicum prospectum in numeris, qui nostri orbis figurant.