সংখ্যার জগতে, আপনি সর্বদা আশ্চর্যজনক নিদর্শনগুলি দেখতে পান যা আশ্চর্যজনক এবং আলোকিত হতে পারে। এরকম একটি কৌতূহল হল বেনফোর্ডের আইন, যা প্রথম অঙ্কের আইন নামেও পরিচিত। এই গাণিতিক ঘটনাটি অনেকগুলি বাস্তব ডেটা সেটে প্রথম সংখ্যাগুলির ফ্রিকোয়েন্সি বন্টনকে বর্ণনা করে এবং আমাদের পরিবেশে সংখ্যার প্রকৃতিতে আকর্ষণীয় অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করে।
বেনফোর্ডের আইন, পদার্থবিজ্ঞানী ফ্রাঙ্ক বেনফোর্ডের নামে নামকরণ করা হয়েছে যিনি এটি 1938 সালে পুনরাবিষ্কার করেছিলেন, এটি একটি আকর্ষণীয় পর্যবেক্ষণ: অনেক প্রাকৃতিক, অর্থনৈতিক এবং বৈজ্ঞানিক ডেটা সেটে, সংখ্যার প্রথম সংখ্যা সমানভাবে বিতরণ করা হয় না। পরিবর্তে, ডিজিট \(1\) অন্যান্য সংখ্যার তুলনায় অনেক বেশিবার প্রথম সংখ্যা হিসাবে উপস্থিত হয়। আরও নির্দিষ্টভাবে, একটি সংখ্যা একটি নির্দিষ্ট অঙ্ক \(d\) দিয়ে শুরু হওয়ার সম্ভাবনা সূত্র দ্বারা দেওয়া হয়
$$P(d) = \log_{10}(1 + \frac{1}{d})$$
যেখানে \(d\) হল \(1\) থেকে \(9\) সংখ্যাগুলির একটি। এই সূত্রটি বলে যে, উদাহরণস্বরূপ, অঙ্ক \(1\) সময়ের প্রায় \(30,1 \%\) প্রথম অঙ্ক হিসাবে উপস্থিত হয়, যেখানে \(9\) সংখ্যাটি শুধুমাত্র \(4,6 \%\) সম্পর্কে প্রদর্শিত হয় সময় ঘটে।
লগারিদমের স্কেলিং ইনভেরিয়েন্স দ্বারা আইনটি ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। আপনি যদি ম্যাগনিটিউডের বিভিন্ন ক্রম থেকে সংখ্যাগুলি দেখেন এবং লগারিদমিক স্কেলে তাদের প্লট করেন, প্রথম কয়েকটি সংখ্যা বেনফোর্ডের আইন দ্বারা পূর্বাভাস অনুযায়ী বিতরণ করা হবে। এর কারণ হল \(10\) (যেমন 10 এবং \(100\) বা \(100\) এবং \(1000\) ) এর পরপর দুটি ঘাতের মধ্যে লগারিদমিক স্থান যত বড় হয় তত বড় হয়। এর মানে হল যে ছোট প্রথম সংখ্যাগুলি আরও "স্পেস" নেয় এবং তাই হওয়ার সম্ভাবনা বেশি।
বেনফোর্ডের আইন ফরেনসিক থেকে ডেটা সায়েন্স পর্যন্ত বিভিন্ন ক্ষেত্রে অ্যাপ্লিকেশন রয়েছে:
- জালিয়াতি সনাক্তকরণ: আর্থিক তথ্যে অনিয়ম সনাক্ত করতে অডিটররা আইন ব্যবহার করে। যদি কোম্পানির ব্যালেন্স শীটে প্রথম অঙ্কের বন্টনটি বেনফোর্ডের আইন থেকে উল্লেখযোগ্যভাবে বিচ্যুত হয়, তাহলে এটি ম্যানিপুলেশন বা জালিয়াতি নির্দেশ করতে পারে।
- বৈজ্ঞানিক তথ্য বিশ্লেষণ: গবেষকরা ডেটা সেটের নির্ভরযোগ্যতা পরীক্ষা করতে আইন ব্যবহার করেন। প্রত্যাশিত বিতরণ থেকে একটি বিচ্যুতি তথ্য সংগ্রহে ত্রুটি নির্দেশ করতে পারে।
এর ব্যাপক প্রযোজ্যতা সত্ত্বেও, বেনফোর্ডের আইন সর্বজনীনভাবে বৈধ নয়। এটি প্রাথমিকভাবে ডেটা সেটগুলিতে প্রযোজ্য যা বিভিন্ন আকারের সংখ্যা ধারণ করে এবং স্বাভাবিকভাবে বিতরণ করা হয়। সংখ্যা সিরিজ যা একটি ছোট পরিসরের মধ্যে বা কৃত্রিমভাবে সীমিত (যেমন জিপ কোড বা সামাজিক নিরাপত্তা নম্বর) সাধারণত এই আইন অনুসরণ করে না।
বেনফোর্ডের আইন অপ্রত্যাশিত এবং অন্তর্দৃষ্টিপূর্ণ উপায়ে বাস্তব জগতে কীভাবে গাণিতিক নীতিগুলি উপস্থিত হতে পারে তার সবচেয়ে আকর্ষণীয় উদাহরণগুলির মধ্যে একটি। বাস্তবে এর প্রয়োগ দেখায় যে গণিত শুধুমাত্র একটি বিমূর্ত বিজ্ঞান নয়, বাস্তবতা বিশ্লেষণের জন্য একটি দরকারী টুল। জালিয়াতি শনাক্ত করার জন্য বা বৈজ্ঞানিক ডেটা যাচাই করার জন্যই হোক না কেন, Benford's Law সেই সংখ্যাগুলির উপর একটি অনন্য দৃষ্টিভঙ্গি প্রদান করে যা আমাদের বিশ্বকে রূপ দেয়৷