Rozmawiasz przez telefon ze znajomym w USA w mroźny zimowy dzień. „Tutaj jest minus \(40\) stopni!” – wykrzykujecie jednocześnie. Normalnie chodziłoby o wyjaśnienie, kto ma na myśli stopnie Celsjusza, a kto Fahrenheita – ale nie w tej konkretnej temperaturze. Dlaczego? To jedyna temperatura, w której skale Celsjusza i Fahrenheita są zgodne!
\(−40\) stopni Fahrenheita to dokładnie \(−40\) stopni Celsjusza. Nie jest to przypadek, ale bezpośrednia konsekwencja liniowej zależności między tymi dwiema skalami. Obie skale temperatury są transformacjami afinicznymi (liniowymi + przesunięciem) tej samej wielkości fizycznej, czyli „temperatury”. Przeliczanie między tymi dwiema skalami jest często żmudne. Istnieje jednak interesujący punkt, w którym obie skale mają tę samą wartość liczbową.
- Skala Celsjusza (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) Temperatura zamarzania wody
\(100^\circ\mathrm{C}\) temperatura wrzenia wody
Odległość między tymi stałymi punktami: \(100\) stopni. - Skala Fahrenheita (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) Temperatura zamarzania wody
\(212^\circ\mathrm{F}\) Temperatura wrzenia wody
Odległość między tymi stałymi punktami: \(212-32=180\) stopni.
Określa stosunek (nachylenie) między skalami:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
Punkt zerowy (przesunięcie) jest również inny: \(0^\circ\mathrm{C}\) odpowiada \(32^\circ\mathrm{F}\) .
Aby wyprowadzić wzór standardowy, szukamy odwzorowania afinicznego postaci
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
gdzie \(a\) nachyleniem (współczynnikiem skali), \(b\) jest przesunięciem.
Wystarczające są dwa następujące warunki, ponieważ odwzorowanie afiniczne przez dwa punkty jest jednoznacznie określone:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
Podstawienie daje wzór standardowy:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
Odwrotność (ze stopni Fahrenheita na stopnie Celsjusza) uzyskuje się rozwiązując równanie \(T_\mathrm{C}\) :
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
Teraz szukamy temperatury \(T\) przy której w obu skalach pojawi się taka sama wartość liczbowa:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
Teraz wstaw \(T_\mathrm{F}\) do wzoru standardowego:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
i na koniec
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
To powoduje \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
i tak
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
W przypadku dodatnich wartości stopni Celsjusza, \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) zawsze większa wartość liczbowa niż \(T_\mathrm{C}\) (np. \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). W przypadku wystarczająco ujemnych wartości Celsjusza, \(32\) Stopnie na początku skali Fahrenheita są w rzeczywistości poniżej zera. W pewnym momencie kompensuje to współczynnik skali. \(\frac{9}{5}\). Ten punkt równowagi jest dokładnie \(−40\): jest dodatkowa zmiana \(+32\) wystarczająco duże, aby obie wartości liczbowe były identyczne. Graficznie, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (linia prosta) i \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (przekątna) – punkt przecięcia ich linii znajduje się w \((-40,-40)\).
Natomiast temperatury bezwzględne (np. w obliczeniach termodynamicznych) podawane są w kelwinach lub Rankine'ach, gdzie nie ma przesunięcia w przeliczaniu skali (tylko czysty współczynnik skali). Na przykład, między stopniami Celsjusza i Kelwina obowiązuje równanie \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) . Istnienie tego przesunięcia jest właśnie powodem, dla którego odwzorowanie Celsjusza na Fahrenheita jest afiniczne, a nie czysto liniowe. Równość \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) wynika bezpośrednio z afinicznej zależności między stopniami Fahrenheita a stopniem Celsjusza.
Jeśli podstawisz \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) do \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) i rozwiążesz, otrzymasz wyraźnie \(T=-40\) . To właśnie w tym miejscu przecinają się dwie skale. Ten punkt przecięcia w \(-40\) jest jedynym punktem, w którym wartości liczbowe obu skal są identyczne. Wynika to z liniowej natury konwersji: dwie nierównoległe linie zawsze przecinają się dokładnie w jednym punkcie. Tak więc następnym razem, gdy ktoś wspomni o \(-40\) stopniach, nie musisz wprost pytać, o jaką skalę mu chodzi.