Bạn đang nói chuyện điện thoại với một người bạn ở Mỹ vào một ngày đông giá lạnh. "Nhiệt độ ở đây là âm \(40\) độ!", cả hai cùng thốt lên. Thông thường, việc này sẽ cần phải làm rõ ai đang nói đến độ C và ai đang nói đến độ F—nhưng không phải ở nhiệt độ cụ thể này. Tại sao lại như vậy? Đây là nhiệt độ duy nhất mà thang đo độ C và độ F trùng khớp!
\(−40\) độ F chính xác bằng \(−40\) độ C. Điều này không phải là ngẫu nhiên, mà là hệ quả trực tiếp của mối quan hệ tuyến tính giữa hai thang đo. Cả hai thang đo nhiệt độ đều là phép biến đổi afin (tuyến tính + dịch chuyển) của cùng một đại lượng vật lý, "nhiệt độ". Việc chuyển đổi giữa hai thang đo này thường rất phức tạp. Tuy nhiên, có một điểm thú vị mà tại đó cả hai thang đo đều có cùng giá trị số.
- Thang nhiệt độ Celsius (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) Điểm đóng băng của nước
\(100^\circ\mathrm{C}\) điểm sôi của nước
Khoảng cách giữa các điểm cố định này: \(100\) độ. - Thang nhiệt độ Fahrenheit (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) Điểm đóng băng của nước
\(212^\circ\mathrm{F}\) Điểm sôi của nước
Khoảng cách giữa các điểm cố định này: \(212-32=180\) độ.
Điều này xác định tỷ lệ (độ dốc) giữa các thang đo:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
Điểm 0 (bù) cũng khác nhau: \(0^\circ\mathrm{C}\) tương ứng với \(32^\circ\mathrm{F}\) .
Để có được công thức chuẩn, chúng ta tìm kiếm một ánh xạ afin có dạng
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
trong đó \(a\) độ dốc (hệ số tỷ lệ) và \(b\) là độ lệch.
Hai điều kiện sau đây là đủ vì phép ánh xạ afin qua hai điểm được xác định duy nhất:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
Thay thế sẽ cho ra công thức chuẩn:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
Phép nghịch đảo (từ độ F sang độ C) thu được bằng cách giải cho \(T_\mathrm{C}\) :
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
Bây giờ chúng ta đang tìm nhiệt độ \(T\) mà tại đó giá trị số giống hệt nhau xuất hiện ở cả hai thang đo:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
Bây giờ hãy chèn \(T_\mathrm{F}\) vào công thức chuẩn:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
và cuối cùng
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
Điều này dẫn đến \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
và do đó
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
Đối với các giá trị Celsius dương, \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) luôn luôn là một giá trị số lớn hơn \(T_\mathrm{C}\) (ví dụ. \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). Đối với các giá trị Celsius đủ âm, \(32\) Độ ở đầu thang nhiệt độ Fahrenheit thực tế là dưới 0. Tại một thời điểm nào đó, điều này bù trừ cho hệ số thang đo \(\frac{9}{5}\). Điểm cân bằng này chính xác là \(−40\): có sự thay đổi bổ sung \(+32\) chỉ đủ lớn để cả hai giá trị số đều giống hệt nhau. Về mặt đồ họa, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (một đường thẳng) và \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (đường chéo) – giao điểm của các đường thẳng của chúng là tại \((-40,-40)\).
Ngược lại, nhiệt độ tuyệt đối (ví dụ, trong các phép tính nhiệt động lực học) được tính bằng Kelvin hoặc Rankine, trong đó không có độ lệch trong phép chuyển đổi thang đo (chỉ có hệ số tỷ lệ thuần túy). Ví dụ, giữa Celsius và Kelvin \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) được áp dụng. Sự tồn tại của độ lệch này chính là lý do tại sao phép ánh xạ Celsius-Fahrenheit là affine chứ không phải tuyến tính thuần túy. Đẳng thức \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) suy ra trực tiếp từ mối quan hệ affine giữa Fahrenheit và Celsius.
Nếu bạn thay \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) vào \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) và giải, bạn sẽ thấy rõ ràng \(T=-40\) . Đây chính xác là giao điểm của hai thang đo. Giao điểm tại \(-40\) này là điểm duy nhất mà giá trị số của cả hai thang đo giống hệt nhau. Điều này là do tính chất tuyến tính của phép chuyển đổi: hai đường thẳng không song song luôn cắt nhau tại đúng một điểm. Vì vậy, lần tới khi ai đó nhắc đến \(-40\) độ, bạn không cần phải hỏi rõ họ đang nói đến thang đo nào.