Ви розмовляєте телефоном з другом у США морозного зимового дня. «Тут мінус \(40\) градусів!» — вигукуєте ви обидва одночасно. Зазвичай, потрібно було б з'ясувати, хто має на увазі Цельсій, а хто Фаренгейт, але не за цієї конкретної температури. Чому? Ця точка — єдина температура, за якої шкали Цельсія та Фаренгейта збігаються!
\(−40\) градусів за Фаренгейтом дорівнює рівно \(−40\) градусам за Цельсієм. Це не випадковість, а прямий наслідок лінійної залежності між двома шкалами. Обидві температурні шкали є афінними перетвореннями (лінійне + зсув) однієї й тієї ж фізичної величини, «температури». Перетворення між цими двома шкалами часто є виснажливим. Однак є цікавий момент, коли обидві шкали мають однакове числове значення.
- Шкала Цельсія (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) Точка замерзання води
\(100^\circ\mathrm{C}\) температура кипіння води
Відстань між цими фіксованими точками: \(100\) градусів. - Шкала Фаренгейта (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) Точка замерзання води
\(212^\circ\mathrm{F}\) Температура кипіння води
Відстань між цими фіксованими точками: \(212-32=180\) градусів.
Це визначає співвідношення (нахил) між шкалами:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
Нульова точка (зсув) також відрізняється: \(0^\circ\mathrm{C}\) відповідає \(32^\circ\mathrm{F}\) .
Щоб вивести стандартну формулу, ми шукаємо афінне відображення виду
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
де \(a\) нахил (масштабний коефіцієнт), а \(b\) — зміщення.
Наступні дві умови є достатніми, оскільки афінне відображення через дві точки визначається однозначно:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
Підстановка дає стандартну формулу:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
Обернене значення (від Фаренгейта до Цельсія) отримуємо шляхом розв'язання відносно \(T_\mathrm{C}\) :
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
Тепер ми шукаємо температуру \(T\) за якої однакове числове значення з'являється в обох шкалах:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
Тепер підставте \(T_\mathrm{F}\) у стандартну формулу:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
і нарешті
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
Це призводить до \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
і таким чином
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
Для позитивних значень Цельсія, \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) завжди більше числове значення, ніж \(T_\mathrm{C}\) (наприклад \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). Для достатньо негативних значень Цельсія, \(32\) Градуси на початку шкали Фаренгейта насправді нижчі за нуль. У певний момент це компенсує масштабний коефіцієнт \(\frac{9}{5}\). Ця точка балансування саме \(−40\): є додаткове зміщення \(+32\) достатньо великим, щоб обидва числові значення були однаковими. Графічно, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (пряма лінія) та \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (діагональ) – точка перетину їхніх прямих знаходиться в \((-40,-40)\).
На відміну від цього, абсолютні температури (наприклад, для термодинамічних розрахунків) задаються в градусах Кельвіна або Ренкіна, де немає зміщення в перетворенні шкали (лише чистий масштабний коефіцієнт). Наприклад, між градусами Цельсія та Кельвіна застосовується \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) . Існування цього зміщення є саме причиною, чому відображення Цельсія-Фаренгейта є афінним, а не чисто лінійним. Рівність \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) безпосередньо випливає з афінного співвідношення між градусами Фаренгейта та Цельсія.
Якщо підставляти \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) у \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) та розв'язати урівень, то однозначно отримуємо \(T=-40\) . Це саме та точка перетину двох шкал. Ця точка перетину в \(-40\) є єдиною точкою, в якій числові значення обох шкал ідентичні. Це пов'язано з лінійною природою перетворення: дві непаралельні лінії завжди перетинаються рівно в одній точці. Тож наступного разу, коли хтось згадає \(-40\) градусів, вам не потрібно прямо запитувати, яку шкалу вони мають на увазі.