Die hiemis glaciali in Civitatibus Foederatis Americae cum amico per telephonum loqueris. "Hic \(40\) gradus sub zero sunt!" ambo simul exclamatis. Normaliter, haec res esset clarificandi quis Celsius et quis Fahrenheit significet — sed non hac temperatura specifica. Cur ita est? Hoc punctum sola temperatura est ad quam scalae Celsius et Fahrenheit consentiunt!
\(−40\) gradus Fahrenheit exacte \(−40\) gradus Celsius sunt. Hoc non est casus, sed consequentia directa relationis linearis inter duas scalas. Ambae scalae temperaturae sunt transformationes affines (lineares + translationis) eiusdem quantitatis physicae, "temperaturae." Conversio inter has duas scalas saepe est taediosa. Attamen, est punctum interesting ubi ambae scalae eundem valorem numericum habent.
- Scala Celsius (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) punctum aquae glacians
punctum ebullitionis aquae \(100^\circ\mathrm{C}\)
Distantia inter haec puncta fixa: \(100\) gradus. - Scala Fahrenheit (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) punctum aquae glacians
\(212^\circ\mathrm{F}\) Punctum ebullitionis aquae
Distantia inter haec puncta fixa: \(212-32=180\) gradus.
Hoc rationem (declivitatem) inter scalas determinat.:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
Punctum zerum (offset) etiam diversum est: \(0^\circ\mathrm{C}\) correspondet \(32^\circ\mathrm{F}\) .
Ad formulam normam derivandam, applicationem affinem formae quaerimus
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
ubi \(a\) inclinatio (factor scalae) et \(b\) est aberratio.
Duae condiciones sequentes sufficiunt quia programmatio affinis per duo puncta unice determinatur.:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
Substitutione formulam usitatam producitur:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
Inversa (a Fahrenheit ad Celsius) obtinetur solvendo pro \(T_\mathrm{C}\) :
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
Nunc temperaturam \(T\) quaerimus, ad quam idem valor numericus in ambabus scalis apparet:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
Nunc \(T_\mathrm{F}\) in formulam normalem inseratur:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
et tandem
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
Hoc efficit \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
et sic
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
Pro valoribus Celsii positivis, \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) semper maior valor numericus quam \(T_\mathrm{C}\) (e.g. \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). Pro valoribus Celsii satis negativis, \(32\) Gradus in initio scalae Fahrenheit re vera infra zero est. Aliquando, hoc factorem scalae compensat. \(\frac{9}{5}\). Hoc punctum aequilibrii est prorsus \(−40\): est mutatio addita \(+32\) satis magnum ut ambo valores numerici idem sint. Graphice, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (linea recta) et \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (diagonalis) – punctum intersectionis linearum earum est apud \((-40,-40)\).
Contra, temperaturas absolutae (e.g., ad calculationes thermodynamicas) in Kelvin vel Rankine dantur, ubi nulla aberratio in conversione scalae est (solum factor scalae purus). Exempli gratia, inter Celsius et Kelvin \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) valet. Existentia huius aberrationis praecise est causa cur applicationes Celsius-Fahrenheit affines sint, non pure lineares. Aequalitas \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) directe ex relatione affine inter Fahrenheit et Celsius sequitur.
Si \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) in \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) et solvas, manifeste \(T=-40\) obtines. Hic est locus ubi duae scalae se intersecant. Hoc punctum intersectionis apud \(-40\) est solum punctum ubi valores numerici ambarum scalarum identici sunt. Hoc propter naturam linearem conversionis est: duae lineae non parallelae semper in uno puncto se intersecantur. Itaque cum aliquis iterum \(-40\) gradus commemorat, non necesse est explicite interrogare quam scalam significent.