凍えるような寒い冬の日、アメリカにいる友人と電話で話しています。「ここはマイナス\(40\)度だよ！」と二人で同時に叫びます。普通なら、どちらが摂氏でどちらが華氏なのかを明確にする問題ですが、この気温ではそうではありません。なぜでしょう？摂氏と華氏の目盛りが一致するのは、この温度だけなのです！
華氏\(−40\)度は摂氏\(−40\)度と全く同じです。これは偶然ではなく、2つの温度スケール間の線形関係から直接導かれた結果です。どちらの温度スケールも、同じ物理量「温度」のアフィン変換（線形+シフト）です。この2つの温度スケール間の変換はしばしば面倒です。しかし、両方のスケールが同じ数値を持つ興味深い点があります。
- 摂氏スケール（°C）：
\(0^\circ\mathrm{C}\)水の凝固点
\(100^\circ\mathrm{C}\)水の沸点
これらの固定点間の距離: \(100\)度。 - 華氏スケール（°F）：
\(32^\circ\mathrm{F}\)水の凝固点
\(212^\circ\mathrm{F}\)水の沸点
これらの固定点間の距離: \(212-32=180\)度。
これはスケール間の比率（傾き）を決定します:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
ゼロ点 (オフセット) も異なります。 \(0^\circ\mathrm{C}\) \(32^\circ\mathrm{F}\)に対応します。
標準公式を導くために、次の形式のアフィン写像を求める。
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
ここで\(a\)傾き（スケール係数）、 \(b\)オフセットです。
2点を通るアフィン写像は一意に決定されるため、次の2つの条件は十分である。:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
代入すると標準の式が得られます。
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
逆関数（華氏から摂氏） \(T_\mathrm{C}\)を解くことで得られます。
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
ここで、両方のスケールで同じ数値が現れる温度\(T\)を探します。
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
ここで\(T_\mathrm{F}\)標準式に挿入します。
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
そして最後に
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
その結果、 \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
そしてこうして
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
正の摂氏値の場合、 \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) 常により大きい数値 \(T_\mathrm{C}\) （例えば。 \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). 十分に負の摂氏値の場合、 \(32\) 華氏スケールの始まりの度は実際には零度以下です。ある時点で、これがスケール係数を補正します。 \(\frac{9}{5}\). このバランスポイント まさに \(−40\): 追加のシフトがある \(+32\) 両方の数値が一致する程度の大きさ。グラフ上では、 \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) （直線）と \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) （対角線） - それらの線の交点は \((-40,-40)\).
一方、絶対温度（例えば熱力学計算用）はケルビンまたはランキンで表され、スケール変換によるオフセットは発生しません（純粋なスケール係数のみ）。例えば、摂氏温度とケルビン温度の間では\(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\)適用されます。このオフセットの存在こそが、摂氏温度と華氏温度のマッピングが純粋な線形ではなくアフィン関係にある理由です。 \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\)等式は、華氏温度と摂氏温度のアフィン関係から直接導かれます。
\(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\)を\(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\)に代入して解くと、明らかに\(T=-40\)となります。これはまさに2つのスケールが交差する点です。この交点\(-40\)は、両方のスケールの数値が一致する唯一の点です。これは、変換の線形性によるものです。つまり、2本の非平行線は常に1点で交差します。そのため、次に誰かが\(-40\)度について言及したときに、どのスケールを指しているかを明示的に尋ねる必要はありません。