Telefonálsz egy barátoddal az Egyesült Államokban egy dermesztő hideg téli napon. „Mínusz \(40\) fok van itt!” – kiáltjátok egyszerre. Normális esetben ez csak annak tisztázása lenne, hogy ki ért Celsius és ki Fahrenheit fokban – de ezen a hőmérsékleten nem. Miért? Ez az egyetlen hőmérséklet, ahol a Celsius- és a Fahrenheit-skála egyezik!
\(−40\) Fahrenheit-fok pontosan \(−40\) Celsius-fok. Ez nem véletlen, hanem a két skála közötti lineáris kapcsolat közvetlen következménye. Mindkét hőmérsékleti skála ugyanazon fizikai mennyiség, a "hőmérséklet" affin transzformációja (lineáris + eltolt). A két skála közötti átváltás gyakran fárasztó. Van azonban egy érdekes pont, ahol mindkét skála ugyanazzal a numerikus értékkel rendelkezik.
- Celsius-skála (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) A víz fagyáspontja
\(100^\circ\mathrm{C}\) víz forráspontja
A fix pontok közötti távolság: \(100\) fok. - Fahrenheit-skála (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) A víz fagyáspontja
\(212^\circ\mathrm{F}\) A víz forráspontja
E fix pontok közötti távolság: \(212-32=180\) fok.
Ez határozza meg a skálák közötti arányt (meredekséget):
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
A nullapont (eltolás) is más: \(0^\circ\mathrm{C}\) megfelel a \(32^\circ\mathrm{F}\) .
A standard formula levezetéséhez a következő alak affin leképezését keressük:
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
ahol \(a\) a meredekség (léptéktényező), \(b\) pedig az eltolás.
A következő két feltétel elegendő, mivel egy két ponton átmenő affin leképezés egyértelműen meghatározott:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
Behelyettesítéssel a standard képletet kapjuk:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
Az inverz (Fahrenheitről Celsiusra) \(T_\mathrm{C}\) megoldásával kapható meg:
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
Most azt a \(T\) amelynél mindkét skálán azonos számérték jelenik meg:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
Most illessze be \(T_\mathrm{F}\) értéket a standard képletbe:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
és végül
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
Ez azt eredményezi, hogy \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
és így
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
Pozitív Celsius-értékek esetén \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) mindig nagyobb számérték, mint \(T_\mathrm{C}\) (például. \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). Kellően negatív Celsius-értékek esetén a \(32\) A Fahrenheit-skála elején a hőmérséklet valójában nulla alatt van. Ez egy bizonyos ponton kompenzálja a skálafaktort. \(\frac{9}{5}\). Ez az egyensúlyozási pont pontosan \(−40\): ott van a plusz váltás \(+32\) éppen akkora, hogy mindkét numerikus érték azonos legyen. Grafikusan, \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (egyenes vonal) és \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (átló) – az egyeneseik metszéspontja a \((-40,-40)\).
Ezzel szemben az abszolút hőmérsékleteket (pl. termodinamikai számításokhoz) Kelvinben vagy Rankine-ben adják meg, ahol a skálaátváltásban nincs eltolás (csak tiszta skálafaktor van). Például Celsius és Kelvin között \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) érvényesül. Ennek az eltolásnak a megléte pontosan az oka annak, hogy a Celsius-Fahrenheit leképezés affin és nem tisztán lineáris. A \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) egyenlőség közvetlenül következik a Fahrenheit és a Celsius közötti affin kapcsolatból.
Ha \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) értéket behelyettesítjük \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) képletbe, és megoldjuk, akkor egyértelműen \(T=-40\) kapjuk. Pontosan itt metszi egymást a két skála. Ez a \(-40\) metszéspont az egyetlen pont, ahol a két skála numerikus értékei megegyeznek. Ez az átváltás lineáris jellegének köszönhető: két nem párhuzamos egyenes mindig pontosan egy pontban metszi egymást. Tehát legközelebb, amikor valaki \(-40\) fokot említ, nem kell explicit módon megkérdezni, hogy melyik skálára gondol.