در یک روز سرد زمستانی با دوستی در آمریکا تلفنی صحبت میکنید. هر دو همزمان فریاد میزنید: «اینجا منفی \(40\) درجه است!» معمولاً باید مشخص شود که منظور چه کسی سلسیوس و منظور چه کسی فارنهایت است - اما نه در این دمای خاص. چرا اینطور است؟ این نقطه تنها دمایی است که مقیاسهای سلسیوس و فارنهایت در آن با هم مطابقت دارند!
\(−40\) درجه فارنهایت دقیقاً \(−40\) درجه سانتیگراد است. این تصادفی نیست، بلکه نتیجه مستقیم رابطه خطی بین دو مقیاس است. هر دو مقیاس دما، تبدیلهای آفین (جابجایی خطی +) از یک کمیت فیزیکی یکسان، یعنی «دما» هستند. تبدیل بین این دو مقیاس اغلب خستهکننده است. با این حال، نکته جالبی وجود دارد که در آن هر دو مقیاس مقدار عددی یکسانی دارند.
- مقیاس سلسیوس (°C):
\(0^\circ\mathrm{C}\) نقطه انجماد آب
نقطه جوش آب \(100^\circ\mathrm{C}\)
فاصله بین این نقاط ثابت: \(100\) درجه. - مقیاس فارنهایت (°F):
\(32^\circ\mathrm{F}\) نقطه انجماد آب
\(212^\circ\mathrm{F}\) جوش آب
فاصله بین این نقاط ثابت: \(212-32=180\) درجه.
این نسبت (شیب) بین مقیاسها را تعیین میکند:
\[
\frac{180}{100}=\frac{9}{5}
\]
نقطه صفر (offset) نیز متفاوت است: \(0^\circ\mathrm{C}\) با \(32^\circ\mathrm{F}\) مطابقت دارد.
برای استخراج فرمول استاندارد، به دنبال یک نگاشت آفین از فرم زیر هستیم:
\[
T_\mathrm{F}=a T_\mathrm{C}+b,
\]
که در آن \(a\) شیب (ضریب مقیاس) و \(b\) انحراف است.
دو شرط زیر کافی هستند زیرا یک نگاشت آفین از طریق دو نقطه به طور منحصر به فرد تعیین میشود.:
- \(T_\mathrm{C}=0 \Rightarrow T_\mathrm{F}=32 \Rightarrow 32 = a\cdot 0 + b \Rightarrow b=32.\)
- \(T_\mathrm{C}=100 \Rightarrow T_\mathrm{F}=212 \Rightarrow 212 = a\cdot 100 + 32 \Rightarrow a=\frac{212-32}{100}=\frac{180}{100}=\frac{9}{5}.\)
با جایگزینی، فرمول استاندارد زیر به دست میآید:
\[
T_\mathrm{F}=\frac{9}{5} T_\mathrm{C}+32
\]
معکوس (از فارنهایت به سانتیگراد) با حل کردن برای \(T_\mathrm{C}\) بدست میآید:
\[
T_\mathrm{C}=\frac{5}{9}\left(T_\mathrm{F}-32\right)
\]
اکنون به دنبال دمایی \(T\) هستیم که در آن مقدار عددی یکسانی در هر دو مقیاس ظاهر شود:
\[
T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\equiv T
\]
حالا \(T_\mathrm{F}\) را در فرمول استاندارد قرار دهید:
\[
T=\frac{9}{5}T+32 \Leftrightarrow T-\frac{9}{5}T=32
\]
و در نهایت
\[
\left(1-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad \left(\frac{5}{5}-\frac{9}{5}\right)T=32 \quad\Rightarrow\quad -\frac{4}{5}T=32.
\]
این منجر به \(T\)
\[
T=-32\cdot\frac{5}{4}=-8\cdot5=-40
\]
و بدین ترتیب
\[
-40^\circ\mathrm{F} = -40^\circ\mathrm{C}.
\]
برای مقادیر مثبت سلسیوس، \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) همیشه یک مقدار عددی بزرگتر از \(T_\mathrm{C}\) (مثلاً \(0^\circ\mathrm{C} \rightarrow 32^\circ\mathrm{F}\), \(20^\circ\mathrm{C}\rightarrow68^\circ\mathrm{F})\). برای مقادیر به اندازه کافی منفی سلسیوس، \(32\) درجه در شروع مقیاس فارنهایت در واقع زیر صفر است. در مقطعی، این عامل مقیاس را جبران میکند. \(\frac{9}{5}\). این نقطه تعادل دقیقاً \(−40\): شیفت اضافی وجود دارد \(+32\) به اندازه کافی بزرگ باشد که هر دو مقدار عددی یکسان باشند. از نظر گرافیکی، \(T_\mathrm{F}= \tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) (یک خط مستقیم) و \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) (مورب) – نقطه تقاطع خطوط آنها در \((-40,-40)\).
در مقابل، دماهای مطلق (مثلاً برای محاسبات ترمودینامیکی) بر حسب کلوین یا رانکین داده میشوند، که در آنها هیچ انحرافی در تبدیل مقیاس وجود ندارد (فقط یک ضریب مقیاس خالص). به عنوان مثال، بین سلسیوس و کلوین \(T_\mathrm{K} = T_\mathrm{C} + 273{,}15\) اعمال میشود. وجود این انحراف دقیقاً دلیل این است که نگاشت سلسیوس-فارنهایت وابسته است و کاملاً خطی نیست. برابری \(-40^\circ\mathrm{F}=-40^\circ\mathrm{C}\) مستقیماً از رابطه وابستگی بین فارنهایت و سلسیوس پیروی میکند.
اگر \(T_\mathrm{F}=T_\mathrm{C}\) را در \(T_\mathrm{F}=\tfrac{9}{5}T_\mathrm{C}+32\) جایگزین کنید و حل کنید، به وضوح \(T=-40\) را به دست میآورید. این دقیقاً جایی است که دو مقیاس با هم تلاقی میکنند. این نقطه تقاطع در \(-40\) تنها نقطهای است که مقادیر عددی هر دو مقیاس در آن یکسان هستند. این به دلیل ماهیت خطی تبدیل است: دو خط غیر موازی همیشه دقیقاً در یک نقطه با هم تلاقی میکنند. بنابراین دفعه بعد که کسی \(-40\) درجه را ذکر میکند، لازم نیست صریحاً بپرسید منظورش کدام مقیاس است.